Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Вообще в последнее время методы теории случайных процессов находят все новые области применения, и сейчас, пожалуй, ни одна из естественных наук не избежала хотя бы в малой степени влияния этой теории,
Охарактеризуем кратко особенности содержания настоящей книги. В книге выделена глава (первая), посвященная случайным процессам в широком смысле. Так мы назвали ту часть теории случайных процессов, которая имеет дело лишь с распределениями конечных наборов значений случайного процесса.
& ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта часть очень близка к элементарной теории вероятностей, не требует для изложения сложных математических понятий и часто бывает достаточна для приложений.
Далее рассматриваются общие вопросы теории случайных функций и затем конкретные классы случайных процессов и частные вопрось! теории. Из случайных процессов широко освещены процессы с независимыми приращениями (им посвящена одна глава) и процессы Маркова (им посвящены две главы). Стационарные процессы рассматриваются частично в первой главе, частично в пятой главе, посвященной линейным преобразованиям случайных процессов. В этой же главе рассмотрена задача линейного прогнозирования. Целая глава уделена предельным теоремам для случайных процессов, причем в этой главе основное внимание уделяется процессам с независимыми приращениями и марковским процессам.
Большинство построений проводится для того случая, когда случайный процесс принимает значения из конечномерного евклидова пространства, в некоторых случаях рассматриваются комплекснозначные одномерные и многомерные процессы, а также процессы со значениями из полного метрического пространства.
Поэтому предполагается, что читатель владеет основными понятиями линейной алгебры (это особо важно при изучений гауссовых процессов) и теории гильбертовых пространств, используемых при рассмотрении линейных преобразований случайных процессов, а также некоторыми сведениями из функционального анализа (полное метрическое пространство, компакты) .
Мы не ставили своей целью давать полную библиографию работ по теории случайных процессов, а в списке литературы, кроме книг, на которые имеются ссылки в тексте, привели лишь основные книги по теории случайных процессов и теории вероятностей, имеющиеся на русском языке, а также статьи, в которых впервые появлялись фундаментальные результаты в данной области.
Книга делится на главы, главы — на параграфы. Основные формулы, а также теоремы, леммы имеют нумерацию внутри каждого параграфа. При ссылках внутри одного параграфа
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
9
указывается лишь номер теоремы или формулы, при ссылках внутри одной главы к этому номеру добавляется еще номер параграфа, при ссылках на результаты других глав добавляется еще и номер главы.
Авторы выражают свою признательность сотрудникам, аспирантам и студентам кафедры теории вероятностей и математической статистики Киевского государственного университета за помощь в работе над книгой.
Киев, 21 октября 1963 г.
Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании общий план и целевая установка книги сохранились. Все же книга подверглась значительной переработке. Исключена глава, посвященная теории меры, и некоторые параграфы других глав. В § 1 второй главы без доказательств сформулированы на языке теории вероятностей те результаты теории меры и интеграла, которые в дальнейшем считаются известными и постоянно используются без дополнительных ссылок. Введена новая глава — «Случайные последовательности», куда вошел новый материал: мартингалы, теория восстановления, цепи Маркова. Расширена первая глава, посвященная процессам в широком смысле. Добавлены новые параграфы, в которых рассматриваются случайные блуждания, обобщенный процесс Пуассона, вопросы абсолютной непрерывности мер, порождаемых диффузионными процессами. Внесены и другие изменения.
Киев—Донецк, февраль 1976 г.
И. И. Гихман, А. В. Скороход
ГЛАВА I
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ § 1. Определения
Течение случайного процесса, так же как и детерминированного, описывается некоторой функцией |(8) (принимающей действительные, комплексные или векторные значения), где 0 — аргумент функции со значениями из множества 0. Функцию ?(0), наблюдаемую в некотором опыте, осуществляя определенный комплекс условий У, называют выборочной функцией или реализацией случайного процесса.
Если 0 фиксировано, то значение |(0) является случайным. Для того чтобы иметь возможность применять математические методы к исследуемому кругу вопросов, естественно предположить, что ?(0) является случайной величиной (или случайным вектором) в теоретико-вероятностном смысле.
Следовательно, случайный процесс является семейством случайных величин |(0), зависящих от параметра 0, пробегающего некоторое множество значений 0.
Если множество 0 произвольно, то вместо термина «случайный процесс» удобнее пользоваться термином «случайная функция», оставляя название «случайный процесс» для тех случаев, когда параметр 0 интерпретируется как время. Когда аргумент случайной функции является пространственной переменной, эту функцию называют еще случайным полем.