Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Книга рассчитана на лиц, усвоивших общий курс теории вероятностей и приступивших к изучению теории случайных процессов. Авторы надеются, что она будет полезной для студентов и аспирантов университетов, а также для специалистов-не-математиков, желающих ознакомиться с основными методами и результатами теории в строгом, но не самом общем и исчерпывающем изложении.
Авторы не ставили своей целью осветить все разделы теории, и некоторые вопросы и методы, хорошо освещенные з имеющейся на русском языке литературе, не затрагивались в настоящей книге (полугрупповая теория процессов Маркова, эргодические свойства процессов Маркова, обобщенные случайные процессы).
Теория случайных процессов выделилась из теории вероятностей сравнительно недавно. Она еще настолько тесно связана с другими разделами теории вероятностей, что границу, отделяющую теорию случайных процессов от этих разделов, часто трудно точно определить. Так, например, с теорией суммирования независимых случайных величин теория случайных процессов связана разделом, изучающим процессы с независимыми приращениями, а с математической статистикой — через статистические задачи теории случайных процессов.
Охарактеризуем основные (с нашей точки зрения) задачи в теории случайных процессов.
1. Первой задачей теории случайных процессов является построение математической модели, допускающей строгое (формальное) определение случайного процесса, а также исследование общих свойств этой модели.
2. Другой задачей является классификация случайных процессов. Очевидно, что всякая классификация носит отчасти
6
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
произвольный характер; поэтому нужно исходить из определенных принципов, указывающих хотя бы «направление», в котором ведется классификация. Существующая классификация в теории случайных процессов заключается в выделении из всей совокупности' случайных процессов некоторых классов, допускающих более или менее конструктивное описание. Каждый класс характеризуется тем свойством, что достаточно дополнительно задать лишь конечное число функциональных характеристик, чтобы выделить из всего класса отдельный случайный процесс.
Иногда рассматривают классы процессов, допускающих единообразное решение определенного набора задач. При рассмотрении таких классов, как правило, не интересуются различием между случайными процессами, если только у них совпадают характеристики, нужные для решения этих задач.
Можно отметить следующие широкие классы процессов:
1) процессы с независимыми приращениями,
2) марковские процессы,
3) гауссовы процессы,
4) стационарные в узком смысле,
5) стационарные в широком смысле процессы (к последним можно отнести и процессы со стационарными приращениями).
3. Следующая задача тесно связана с предыдущей. Она заключается в отыскании для различных классов случайных процессов аналитического аппарата, дающего возможность вычислять вероятностные характеристики случайных процессов. Для простейших вероятностных характеристик такой аппарат создан и использует, как правило, или теорию дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными), а также интегро-дифференциальные уравнения (в случае марковских процессов и процессов с независимыми приращениями), или теорию интегральных уравнений с симметрическими ядрами (в случае гауссовых процессов), или преобразования Фурье и теорию функций комплексного переменного (для процессов с независимыми приращениями и стационарных процессов).
4. Следует выделить задачу, сыгравшую важную роль в формировании некоторых разделов теории случайных процессов и имеющую важное практическое значение.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
7
В общем виде задача заключается в наилучшем определении значения некоторого функционала от процесса по значениям других функционалов от этого же процесса. Примером может служить частная задача предсказания: наблюдая процесс в течение определенного промежутка времени, определить значение процесса в некоторый момент времени, не принадлежащий этому промежутку.
5. Важный класс задач теории случайных процессов — изучение различных преобразований случайных процессов. Эти преобразования используются для того, чтобы с их помощью изучать сложные процессы сведением к более простым. К изучению преобразований случайных процессов можно также отнести теорию дифференциальных и интегральных уравнений, в которые входят случайные процессы. Этот класс задач включает в себя и предельные теоремы для случайных процессов, так как операция предельного перехода является некоторым преобразованием.
Основными областями применения теории случайных процессов в настоящее время являются радио- и электротехника, где применяются главным образом стационарные в широком смысле и гауссовы процессы, кибернетика (в частности, теория информации), использующая стационарные в узком смысле и марковские процессы.
В математической экономике, математической биологии применяются различного рода марковские процессы, в молекулярной теории газов используется процесс броуновского движения, в теории каскадов космических частиц находят себе применения марковские процессы и процессы с независимыми приращениями.
