Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
При z = 0 имеем q (0, г) = 1 — f (0, t) = 1 — pY 0 (t) = q(t) ~ Kenht. Можно предположить, что такой же будет скорость убывания
функции q(z,t) и при г ф 0. В связи с этим положим
(22.
Заметим, что функцию
со
Г (г, /) = 1-ф(г, = (23)
1
молено рассматривать как производящую для условного распре-деления числа частиц v(t) при гипотезе v(t)=^= 0.
Теорема 3. Если тх — «'(1) < 0, /п2 = и" (1) ¦< со, го при t оо условное распределение числа частиц v(t) при гипотезе v(t)^> 0 стремится к определенному пределу, производящая функция которого /* (z) равна
f dz '¦'« (z)
'¦ (z)
f*(z) — 1 — e 0 . (24)
Доказательство. Рассмотрим функцию tp (z,t). Из (4) следует, что ф (z,t) удовлетворяет уравнению
if = - тто “¦11 ”q {t) ?) + тк"111 _ q {t))-
Разлагая правую часть полученного равенства по формуле Тейлора, получим
•f- = - [и (1) - g(t) m' (1) + {и» (1) + е,)] +
+ [и (1) — q (0 и' (1) + ~L~^~ (и ' U) + ег)] ¦
442 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
где el = u"(h) — u"( 1), е2 = и" (&) — и" (1), (g2) —число, ле-
жащее между f(z,t) и 1 (между f(0, t) и 1). При о функции (г = 1,2) равномерно в любой области |z|^p-< 1.
Предыдущее равенство можно записать в виде
¦Ц- = - (т2 + Bj) + (щ2 + е2). (26)
Начиная с некоторого достаточно большого t, имеем
дф ^ д (t) ф dt
откуда
< (m2 +-у-) =-|т2<7(ОФ,
*
т, ^ <7 (г) dT
ф(г, 0<ф(*. to)* и
оо
Из сходимости интеграла ^ q(x)dx следует, что функция q>(z, t)
^0
остается ограниченной при *->оо. Поэтому уравнение (25) можно переписать в виде
— ф) + в], Ф (z, 0) = 1 — z,
где е = е2 — фб1->-0 при t-*-oo. Представляя решение последнего уравнения в виде
-j ^ q (t) [mi U-Ф (г. *))+e] d\
(f{z,t) = (\—z)e° убеждаемся в существовании предела
lim ф (z, t) = K (z).
OO
Кроме того, из (25) следует, что lim-^- = 0. Так как tp(z, t)
t^oo ОТ
является аналитической функцией внутри круга |z|<l и все использованные предельные соотношения имеют место равномерно внутри всякого круга |z|^p<l, то функция K(z) также является аналитической внутри круга и lim Дф (2> __ dK (z)
/->» dz dz
равномерно внутри любого круга |z|^p< I. Для определения функции K(z) можно воспользоваться уравнением (9). Подставляя в него f(z,t)= 1 — q(t)q>(z,t), получим
- q'{t)q{z, t) — ц (!) — = —и (г) q (/) d<f ? t]-.
5 5} ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ 443
Разделив это уравнение на q(t) при t~>oo, получим, учитывая, что q'(t)/q (t)-> mi (см. доказательство теоремы 2),
mlK(z) = u(z)~^-, причем К{0)== iim ф(0, /) = 1. Таким образом,
f ОО
г
Г dz
т‘ J и (Z)
K(z) = e 0 ,
l-f(z, t)~q(t)K(i) = e 4 » ЛИ
Приведем теперь выражение для среднего числа частиц в момент времени t при гипотезе, что к этому моменту времени процесс не вырождается. Имеем
am,t
т* (t) = М {v (0 I v (t) > 0} = jyy, (26)
откуда, принимая во внимание теорему 2, вытекают следующие
асимптотические соотношения при t-* оо:
( 1 /К при т, < 0,
ж* (0 ~ 1 m2t!2 при тх — 0,
I emt/{i — а) при mi > 0.
При т\~^ 0 число частиц v(t) при гипотезе v(0> 0 неограниченно увеличивается. Положим
v* — v w V W ~~ m' (t) '
Тогда M {v*(t) jv*(0> 0} = 1. Изучим предельное поведение величины v*(t) при t-*-oо.
Так как можно ожидать, что предельное распределение величины v*(t) при гипотезе v(0>0, если оно существует, будет непрерывным распределением на полупрямой [0, оо), целесообразно перейти от производящих функций к характеристическим. Для характеристической функции g(X, t) случайной величины v*(/) при гипотезе v(0> 0 имеем следующее значение:
