Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Решение уравнения (18) имеет вид
t X
mk(z,t) = e° JfA(z, т)е° dr.
О
По индукции, используя те же соображения, что и в случае k=\, получаем
t
mk (t) = lim tnk (г, t) = em^\Fk{ 1, x)e~m'x dx,
1 J
причем, очевидно, m*(/) удовлетворяет уравнению (18), в котором положено z=l. В
8 5] ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ 439
В частности,
«2(0 = -—(в"1'- 1)в">‘ К^О), (19)
m2{t) — m2t (m,=0). (20)
При изучении асимптотического поведения ветвящегося процесса важную роль играет функция u(z) (см. (5)), которую мы будем сейчас рассматривать для действительных значений z. Заметим, что
u(0) = b0>0, и(1) = Ь0-Ь1 + ?ьк = 0,
к-2
и" (2) > 0 при 2 > 0;
при этом будем считать, что не все bh (k ^ 2) равны нулю. Таким образом, и"(г) выпукла вниз при z > 0 и, следовательно, на интервале (0,1) имеет не более одного нуля. Перейдем к определению вероятности а вырождения ветвящегося процесса v(^). Так как события {v(?) = 0} образуют монотонно возрастающий класс событий, то
а = Р {lim v (t) — 0} — lim Р {v (t) = 0} = lim px 0 (t).
<->oo oo ^ ->oo
Теорема 1. Вероятность вырождения ветвящегося процесса совпадает с наименьшим неотрицательным корнем уравнения и(х) = 0. Если
ОО
u'(l) = nti == — bx + ? kbk < оо,
& = 2
то при ы'(1)<с:0 вероятность вырождения а=1; если же и'(\) > 0, то а < 1.
Доказательство. Так как pio(t) = f(0,t), то из (4) следует,
что
^Г^ = «(Рю(0), Р\ о (0) = 0. (21)
Если Ьо = 0, то решением уравнения (21) является р10(0 = 0, и теорема 1 тривиальна. Пусть Ьо > 0. Заметим, что если *о— наименьший положительный корень уравнения и(х) — 0, то Pio(to)<x0 для всех ?>0. Действительно, если бы РюЦ0) = = Хо, t0 > 0, то в силу единственности решения уравнения (21) было бы Pio(t) что невозможно.
Далее, так как существует предел а= lim Рю(0^1> то из
t -> ОО
(21) следует существование lim р\ 0 (t) = и(а). Но отсюда выте-
t -> ОО '
кает, что и (а) = 0, в противном случае р{ 0 (/) = ^ р[ 0 (?) dt + ру 0(/0)
и
440
СКАЧКООБРАЗНЫЕ .МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VII
возрастало бы неограниченно. Таким образом, доказано, что а = х0. Если х-о < 1, то в точке х = 1 функция и(х) возрастает и производная ы/(1)>0, если только она существует. Если же Х0 = 1, то и'( 1) < 0. Ц
Исследуем теперь асимптотическое поведение вероятности Pio(t) при t —> со для вырождающихся процессов (а = 1). Теорема 2. Если т\ — и' (1) ^ 0, т2 — и" (1) < оо, то
1 — Pi о(0 ~ Kemit при тх< 0 и некотором К > 0
и
!— Pio(t)~~f при in-, — 0.
Доказательство. Положим
<7(0 = 1 — Рю(0-
Функция q(t) удовлетворяет уравнению
-?!:= —„(1 —q(t)), <7 (0) = 1.
Пользуясь формулой конечных приращений, получим
4f = -a(i) + <7(0«/(i) = <7(0«/(l),
где | лежит между р10(0 и 1. Так как и'(х) — монотонно возрастающая функция, |->-1 при t —> оо3 то и' (|) = и.'(1) — е (/), где е{/)> 0 и lim е(/)=0. Таким образом,
t->oo
-~=q{t)(nii — e(t)),
откуда
t
m,t е (т) dx
q (t) = e 0 Заметим, что (? < ? < 1)
0 < е (/) = и' (1) - и' (?) = и" (?) (1 - |) < и" (1) (1 - р 1 о (/)) < ш2е^,
ОО
поэтому интеграл ^ e(t)dt конечен. Отсюда следует, что при
о
nil <0
q (t) ~ Kemit, где К = ехр ^ е (t) dt'j.
Рассмотрим случай mi = 0. Имеем
= _ и (1 _ q (/)) = _ и (1) + с (/) и' (1) - и" (Ii),
§ 5] ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ 44]
где Si — число из интервала (Pi0(t), 1). Так как u"(h)—>u"( 1) при /—> оо, то
4f. = _il2.„% + eW),
где е (/)-»-О при t-> оо. Отсюда следует
q (/) =-------1---------= JL. + о (у) . Щ
m2t + J е (т) dx + 2
о
Дополним теорему 2 результатом, относящимся к асимптотическому поведению вероятностей рij(/) для вырождающихся процессов.
Так как lim P\n(t) — 0 (п > 0), то lim f(z, t) = 1. Положим
t -+СО t->OQ
q(z, t)= \ —f(z, t).
