Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
О Z--
Для обратной функции 2 = г|э(^) получаем выражение
1_Ве<7(н-В) о
г = aj)(t) = ^ _едщ-еУ ' ^=='7’
откуда
s.! л\ , ii т 1 w z — Р — р (z — 1) eqt
ffe <)-=¦»« + Ф(г))= ¦
Разлагая f(z, t) в ряд по степеням г:
U? \-et(q~P) , у (1 ~P)2(l - в* ^-Р))п~1 et {д-Р) n
1 -1 Ьх fe-V <?-*)]»+>
P
придем к следующим формулам:
1 _ J {я-p)
Pi о (0 =----j—-----(11)
\ — L Pt (я-p)
P
Ч.. (l — e* ^-P))n~] J (tf-P)
P„w=(i-wj-( [p_t,(12)
В предыдущем исключалась возможность р = q. Остановимся на ней. В этом случае
Z
ф(г)=^ р (1 — г)2 =УТ^7> 2 = ф (0 = 1 — у
+ pt ’
и
откуда
f(z, 0=2(* + <p(z))= 1--------------------------------—-= -EL-+Y ¦ И"~‘ , , Zn.
\ + pt(\ — z) \+pt ~ 0 + pt)
Следовательно,
P io(0 = -nf^. (13)
Р.ЛО = -ГУ^+| , «=1,2,... (14)
Из формул (11) — (14) непосредственно вытекают следующие
асимптотические соотношения при ?->оо; если q ^ р, то
Pi о (0 ^ 1 j PinW-^-O при 1, / —* оо;
§ 5] ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОМЕССЫ 437
если же q > р, то
PioW-^Р (Р< 1), Pin(t)-+b при я> 1, /-> оо.
В первом случае (<7 ^ р) ветвящийся процесс с вероятностью, равной 1, вырождается, т. е. со временем вег частицы исчезают. Во втором случае (q > р) вероятность вырождения
процесса равна Р —< 1; если же частицы не исчезают, то их
число неограниченно увеличивается во времени. Действительно,
N
Р {V (0 > NIV (0 > 0} = 1 - ? р» (0 -> 1,
к=1
каково бы ни было Л/.
Рассмотрим вопрос об асимптотическом поведении при t->oo ветвящегося процесса в общем случае. В дальнейшем понадобятся моменты величины v(/)-
Поскольку мы используем производящие функции, вместо моментов удобней вводить факториальные моменты. Положим
mk (t) == М [v {t) (v (/) — 1) ... (v (t)~k + 1)].
Нетрудно установить линейные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют факториальные моменты nih{t). Предположим, что
ОО
? kbk < оо.
Тогда при |z|< 1 дифференциальное уравнение (4) можно продифференцировать по z, в результате чего получим
дтЛЬ ~ — и' (f)rti\ (z, t), (15)
где положено
m, (г, = (z, t) = Mv (/) zv <*>,
oo
u' (z) — — biJr ? kbkzk~l.
fe«e»2
Из (15) и равенства ni\(z, 0)== 1 следует
t
$ я' (f)dt
mi (z, i) — e° (12 | < 1).
00
При z —> 1 имеем u'(z) ->• — bx + ? kbk — mx < oo и f(z,
k-2
монотонно возрастая, а поэтому и равномерно относительно t. Следовательно,
limm! (z, t) — emit.
438 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
С другой стороны, в силу теоремы Лебега при z f 1
ОО
lim тх (z, t) = lim Mv (/) zv (<) = Mv (i) = ? kpk (t).
Z-t-l z-t-I * = 1
Таким образом,
m,\ (/) = em,t. (16)
Этот результат немедленно обобщается на факториальные моменты высших порядков.
Лемма 1. Предположим, что
оо
"1/-= Z п(п— 1) ...(n — r+ \)bn < ОО, г = 1...............k. (17)
Па» 1
Тогда факториальные моменты mr(t), г = 1, 2, ..., k, величины \(t) конечны и удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям первого порядка с постоянными коэффициентами.
Для доказательства последовательно дифференцируем по z (|z|< 1) уравнение (4). Полагая
т„(г, t) = i^A = M(v(/)(v(/)-l) ... (v (*)-*+1) г” (О-*), получим
dm2(z, t) = u, ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
.......................................... (18)
dmb (z, t)
----jt---= u {f)mk{z, t) + Fk{z, t),
где Fh{z,t) — многочлен от m\(z,t), mk~i(z,i) с коэффициентами, линейно зависящими от u"(f), ..., и<й>(/). К этим уравнениям добавляются начальные условия
fnk{z, 0) = 0, k = 2, 3, ...
