Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью этой формулы выражение для ф/Дг) записывается следующим образом:
Ф«7 (z) ' 1 1 1 1 4 ' 1
(z + %к) 'Ф' (— А.*)
I 5] ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ 431
Так как <ри (г) = есть пРеобРазование Лапласа функции то рц — 0, если j<i,
M0=(ni*)ZVFW’ '>'• рМ—'ч>
где
Ф'(-я,*)= П(я,,-я*).
r-i
гфк
Полученные выражения и представляют собою решение уравнений (17) в явном виде.
В простейшем случае Хк = kX соответствующий процесс называется процессом линейного роста.
В этом случае
Pn(t) = i{i+ 1) ... (/-1)^~'Х
W V1 е~ш
Х* i {i+\-k) ... (-l)-l ... (j-k) ~
Соответствующее распределение носит название распределен ления Юла~Фарри. Заметим, что (Е(0) = 0
М? (t) = ieu, D? (t) = ieu (eM — 1).
Поскольку вложенная цепь для процесса чистого роста удовлетворяет условию
Рог{*пН = я + г} = 1.
то в силу теоремы 4 § 2 условие
00
Етг=+~
k=0
является необходимым и достаточным для регулярности процесса. В частности, процесс линейного роста является регулярным.
§ 5. Ветвящиеся процессы
Важным классом марковских процессов со счетным числом состояний являются ветвящиеся процессы.
Предположим, что наблюдается некоторая физическая система, состоящая из конечного числа частиц одного и того же или нескольких различных типов. С течением времени каждая
432
скачкообразные марковские процессы
[ГЛ. VII
частица независимо от других частиц может исчезнуть или превратиться в группу ноеыХ частиц. Явления, описываемые такой схемой, довольно часто встречаются в природе и технике. К ним относятся ливни космических лучей, прохождение элементарных частиц через вещество, развитие биологических популяций, распространение эпидемии и др.
Точное определение процессов подобного типа в рамках теории процессов Маркова приводит к понятию ветвящегося процесса.
Пусть п — число различных возможных типов частиц. Состояние системы 2 в момент времени t характеризуется целочисленным вектором v (t) — {vi (/), V2{t), V„(/)}, где Vi(t) —
число частиц i-го типа, существующих в момент времени t. В дальнейшем мы будем отождествлять состояние системы 2 в момент времени i с вектором v(/). Относительно характера эволюции системы 2 во времени предположим следующее: какова бы ни была частиц-а, существующая в момент времени /, ее последующая эволюция не зависит от того, когда и каким образом эта частица появилась, и от характера эволюции всех остальных частиц, входящих в 2 в момент времени t.
Пусть а, р, ... обозначают n-мерные векторы с целочисленными неотрицательными координатами:
а = {аь а2, ..., ап}, Р = {оь Ь2, Ьп).
Введем вероятности перехода рар(/\,t2) системы 2 из состояния сс, имевшего место в момент времени t\, в состояние р в момент времени t2:
Pafi (h, к) = Р {v (t2) = | v (/[) = а}.
Обозначим через {?} (?=1, ..., п) состояние системы 2, состоящей из одной частицы ?-го типа.
Сформулированное выше предположение о характере эволюции системы 2 во времени может быть записано следующей формулой:
П а\
Ра&(? 1’ Q ^ П Л Р{>)Р(г/) (?i> Ч)> О)
п ! ^
г-i /=1
где суммирование в правой части равенства производится по всевозможным вёкТорам с неотрицательными целочисленными компонентами (/—1, ..., а{, t=l, ..., п), в сумме составляющими вектор |3. При этом, если а; = 0, то считаем
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ
433
Итак, ветвящийся процесс есть марковский процесс, пространство возможных состояний N которого является совокупностью всех целочисленных /г-мерных векторов с неотрицательными координатами и переходные вероятности которого удовлетворяют соотношению (1).
В дальнейшем рассматриваются только однородные ветвящиеся процессы, т. е. процессы, для которых
Paf, (^Ь ^2) == Рafl (^2 ^l)-
Рассмотрим процессы с одним типом частиц (/г=1). Так как в ветвящемся процессе каждая частица эволюционирует независимо от других, можно считать, что в начальный момент времени существовала одна частица. С течением времени она или исчезает, или превращается в k однотипных частиц — первую генерацию.
Каждая частица первой генерации «живет» независимо от других частиц, и для нее имеют место те же теоретико-вероятностные законы, что и для исходной. В некоторый момент времени она или исчезает, или превращается в частицы второй генерации и т. д. Весь процесс описывается одной целочисленной случайной функцией v(t), равной числу частиц, существующих в момент времени t, при этом v(0)= 1.
