Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 163

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 214 >> Следующая


я ^ I С

fk = ТГ §k + Trfk-1 —

X t , f‘ft I'a-1 x

= ТГёк + яГТ1ГГ^-' + ТГя^7Ш7^+ •••

, i ^ ••• ^ f (U)

• • • + Хь ... Я2 Xf + Aft ... Я, '0‘ ^ '

Пусть go = 1. В этом случае все gh > 0 и fh > 0. Поэтому g*

К

возрастает с k. Поскольку fo = T~go, т0. заменяя в (14) все

Ло

gh на go = 1, будем иметь

f* >1 [т- + ITT— + \ Г* V + + r’"xl 1-

L Aft AftAft-j AfcAft jAft-2 Aft ... A1A0 J

n

Поскольку X fk = gn+\ -- ?o> то условие

ft —0

oo

Е[хГ + хЙт7+ ••• + ^".7я1']<0° (15)

/2 = !

необходимо для существования ограниченного решения системы (13). Заменим теперь в (14) все gi на gh- Получим

^<[тГ+ ••• + ТТТГХХ ] Sk,

?*+»<[!+ТГ + +T~7~rir]gk<

<^ехр{я[тг+ ... +{kk;;; ?-]}. Следовательно, при go = 1

sup^espjj. Е[~+ +5^ТГ]}-

Таким образом, соотношение (15) и достаточно для ограниченности решения (13).

Теорема 1. Для регулярности процесса рождения и гибели необходимо и достаточно выполнения условия
ПРОЦЕСС РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ

429

Рассмотрим специальный случай процесса рождения и гибели, у которого = 0, k — 1, 2, ... Такой процесс называется процессом чистого размножения (или роста). У этого процесса из состояния ? возможен лишь переход в состояние ?-j- 1. Выборочные функции такого процесса являются неубывающими целочисленными функциями, все скачки которых равны 1. Подобного рода процесс может служить математической моделью процессов регистрации некоторого явления, происходящего в случайные моменты времени.

Например, при последовательном радиоактивном распаде из исходного радиоактивного вещества (материнского) образуется другое радиоактивное вещество (1-е дочернее), из 1-го дочернего— 2-е и т. д. Фиксируем некоторый атом исходного вещества. В течение случайного промежутка времени он находится в исходном состоянии и затем распадается, превращаясь в атом 1-го дочернего вещества, и т. д. При этом вероятность распада атома в промежуток (t, s) не зависит от «продолжительности жизни» атома до момента времени t и каждое состояние атома имеет определенную среднюю продолжительность жизни lk = = 1 Aft. Примерами таких цепей последовательного радиоактивного распада являются превращения естественных изотопов урана и тория, заканчивающиеся образованием устойчивых изотопов свинца. Из сказанного выше вытекает, что случайный процесс, описывающий превращения атома, является марковским.

Уравнения Колмогорова имеют следующий вид:

р'и (0 = - V// w + V<+1 / (о, *>°

(первая система уравнений), и

Pq (0 “ ~ РцУ)^1 + Pi /-1 (0^/_p + 1,

р'.(/) = -р;г.(?)Я0 (17)

(вторая система уравнений).

К этим уравнениям нужно присоединить еще начальные условия pij(0)=dij. Решим систему уравнений (17).

Если ? >> /, то в соответствии с определением процесса чистого роста полагаем

Рг/(0 —0 0'<г).

что, конечно, также является решением системы (17) и удовлетворяет начальным условиям. После этого система уравнений (17) (при фиксированном ?) приобретает рекуррентный характер.

Сначала определяем pu(t) из уравнения
430 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII

а затем последовательно функции pa+l(t), pn+2(t), для каждой из которых (17) является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением. На первом шаге имеем pa(t) = e~xil и затем

t

Рц(t) — hj-i ^ exp {—I/it — s)}pi 7_, (s) ds.

о

Решение системы (17) в явном виде может быть легко получено обычными методами операционного исчисления.

С этой целью рассмотрим преобразования Лапласа функций pti(t):

со

фi/(z)=jj e~ztpi/(t) dt.

о

Тогда

90

\ e-ztp'll{t)dt = z(fij{z)-6ll

о

и при переходе к изображениям функций уравнения (17) принимают вид

z<tu (г) = — kjffu (z) -f Af-м j-—i (z), j > i,

z<pn(z)— 1 = — Xl<pll{z),

откуда

/ ч 1 • •

Фи (z) — z + %l • Ф// T+Tj ^/-1’ 1>l’

и

rl-l

Ф.7 (Z) :

где

Ф (z) = П (z + Я,*).

Если среди чисел нет равных, то

/

?

¦ф (z) Z_I (z + Afe) Ф' (— Л*) к-i
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed