Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
я ^ I С
fk = ТГ §k + Trfk-1 —
X t , f‘ft I'a-1 x
= ТГёк + яГТ1ГГ^-' + ТГя^7Ш7^+ •••
, i ^ ••• ^ f (U)
• • • + Хь ... Я2 Xf + Aft ... Я, '0‘ ^ '
Пусть go = 1. В этом случае все gh > 0 и fh > 0. Поэтому g*
К
возрастает с k. Поскольку fo = T~go, т0. заменяя в (14) все
Ло
gh на go = 1, будем иметь
f* >1 [т- + ITT— + \ Г* V + + r’"xl 1-
L Aft AftAft-j AfcAft jAft-2 Aft ... A1A0 J
n
Поскольку X fk = gn+\ -- ?o> то условие
ft —0
oo
Е[хГ + хЙт7+ ••• + ^".7я1']<0° (15)
/2 = !
необходимо для существования ограниченного решения системы (13). Заменим теперь в (14) все gi на gh- Получим
^<[тГ+ ••• + ТТТГХХ ] Sk,
?*+»<[!+ТГ + +T~7~rir]gk<
<^ехр{я[тг+ ... +{kk;;; ?-]}. Следовательно, при go = 1
sup^espjj. Е[~+ +5^ТГ]}-
Таким образом, соотношение (15) и достаточно для ограниченности решения (13).
Теорема 1. Для регулярности процесса рождения и гибели необходимо и достаточно выполнения условия
ПРОЦЕСС РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ
429
Рассмотрим специальный случай процесса рождения и гибели, у которого = 0, k — 1, 2, ... Такой процесс называется процессом чистого размножения (или роста). У этого процесса из состояния ? возможен лишь переход в состояние ?-j- 1. Выборочные функции такого процесса являются неубывающими целочисленными функциями, все скачки которых равны 1. Подобного рода процесс может служить математической моделью процессов регистрации некоторого явления, происходящего в случайные моменты времени.
Например, при последовательном радиоактивном распаде из исходного радиоактивного вещества (материнского) образуется другое радиоактивное вещество (1-е дочернее), из 1-го дочернего— 2-е и т. д. Фиксируем некоторый атом исходного вещества. В течение случайного промежутка времени он находится в исходном состоянии и затем распадается, превращаясь в атом 1-го дочернего вещества, и т. д. При этом вероятность распада атома в промежуток (t, s) не зависит от «продолжительности жизни» атома до момента времени t и каждое состояние атома имеет определенную среднюю продолжительность жизни lk = = 1 Aft. Примерами таких цепей последовательного радиоактивного распада являются превращения естественных изотопов урана и тория, заканчивающиеся образованием устойчивых изотопов свинца. Из сказанного выше вытекает, что случайный процесс, описывающий превращения атома, является марковским.
Уравнения Колмогорова имеют следующий вид:
р'и (0 = - V// w + V<+1 / (о, *>°
(первая система уравнений), и
Pq (0 “ ~ РцУ)^1 + Pi /-1 (0^/_p + 1,
р'.(/) = -р;г.(?)Я0 (17)
(вторая система уравнений).
К этим уравнениям нужно присоединить еще начальные условия pij(0)=dij. Решим систему уравнений (17).
Если ? >> /, то в соответствии с определением процесса чистого роста полагаем
Рг/(0 —0 0'<г).
что, конечно, также является решением системы (17) и удовлетворяет начальным условиям. После этого система уравнений (17) (при фиксированном ?) приобретает рекуррентный характер.
Сначала определяем pu(t) из уравнения
430 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
а затем последовательно функции pa+l(t), pn+2(t), для каждой из которых (17) является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением. На первом шаге имеем pa(t) = e~xil и затем
t
Рц(t) — hj-i ^ exp {—I/it — s)}pi 7_, (s) ds.
о
Решение системы (17) в явном виде может быть легко получено обычными методами операционного исчисления.
С этой целью рассмотрим преобразования Лапласа функций pti(t):
со
фi/(z)=jj e~ztpi/(t) dt.
о
Тогда
90
\ e-ztp'll{t)dt = z(fij{z)-6ll
о
и при переходе к изображениям функций уравнения (17) принимают вид
z<tu (г) = — kjffu (z) -f Af-м j-—i (z), j > i,
z<pn(z)— 1 = — Xl<pll{z),
откуда
/ ч 1 • •
Фи (z) — z + %l • Ф// T+Tj ^/-1’ 1>l’
и
rl-l
Ф.7 (Z) :
где
Ф (z) = П (z + Я,*).
Если среди чисел нет равных, то
/
?
¦ф (z) Z_I (z + Afe) Ф' (— Л*) к-i
