Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Р*,*{*Л*> ®)=Xs(t, (о)} = 1, Рs,x{*s(t, ©)=xs{t, (0)} = 1.
Очевидно, стохастически эквивалентные процессы имеют одина-ковые вероятности перехода.
Пусть {*s(f, to), <S®, Ps, х-}—марковский процесс. Неотрицательная случайная величина т называется марковским моментом для этого процесса, если при t > 0 событие {т > /} е ©?, т. е. наблюдая процесс на отрезке времени [0, t] мы можем судить, наступил момент т или нет. Вообще говоря, будут рассматриваться моменты, могущие принимать значение + °о. Кроме марковских моментов будем рассматривать s-марковские моменты (,s ^ 0); в этом случае t>s и при t ^ s событие {т > (} е 6?. 0-марковские моменты являются просто марковскими. Пусть т — s-марковский момент. Совокупность событий из @s, для которых
ЛП{т<*}е©?,
обозначим ©*. Очевидно, что ©? является cr-алгеброй. Очевидно, что т измеримо относительно ©*.
Лемма 1. Если X — метрическое пространство, S3 порождено некоторым классом непрерывных функций и xs(t, со) непрерывно
<> П ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА 391
справа, то jcs(t, со) также &х-измеримо для любого s-марковского момента т.
Доказательство. Имеем для любой непрерывной измеримой функции g(x)
2™
g(xs(т, со))Х(т<(}= Пт ? g(*s(^, со))хг±м ;<x<44*
ft = l l ! 'i )
Следовательно, g(;cs(T, co))x{x<<} является ©J-измеримой величиной. Поэтому это справедливо и для любой измеримой функции g, в частности для S-измеримых В:
XB(xs(r, co))X{r<i}
<Sf-измеримо, значит, {xs (т, to) е S} П {t ^ е {*«(т> to) е ¦
Наиболее интересными примерами марковских моментов являются моменты первого достижения некоторого множества (или выхода из некоторого множества).
Пусть X—метрическое пространство, xs(t,iо) непрерывно справа. Пусть G — открытое множество. Тогда величина т = = sup[/: xs(u, со)ф.О, и sg; t], называемая моментом первого попадания в G, будет s-марковским моментом. Действительно,
{т > t) = П {со: (ik, со) ф G} Л {со: (t, to) <ф. G},
k
где {^} — всюду плотное множество на [s, t], а множества в правой части этого равенства принадлежат ©?. Если т„ f т и т„ — s-марковские моменты, то и т — s-марковский момент:
{т > 0 = U(T« > О-
П
Поэтому для всякого множества /r = f|G„, где Gn— монотонно
П
убывающая последовательность открытых множеств, r = sup[^: xs(u, со)<?F, и<^] будет также s-марковским моментом, так как
т = sup т„,
П
где хп — момент первого попадания в множество Gn. В частности, момент первого попадания в замкнутое множество также является s-марковским моментом.
Очень важный класс процессов — это такие марковские процессы, у которых марковское свойство сохраняется и в
3 92 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. \'Ц
марковские моменты. Такие процессы называются строго марковскими. Приведем точное определение этого понятия.
Определение. П роцесс {xs (t, со), ©*, Ps, *} называется строго марковским, если выполняются следующие условия:
I. Для любого s-марковского момента т величина *s(t, со) является ©?-измеримой.
II. Для f >¦ 0 и §9-измеримой функции g(x)
Ms, X(g(xs(r + t, со))!S?) == Мс, M)g(^T(T+f,co))(modPs,x). (13)
Правую часть (13) нужно понимать как результат подстановки и — Г, X = Xs (т, со) в функцию Ми, xg (Хи (и t, со) ). Чтобы результат такой подстановки был случайной величиной, будем требовать еще выполнения следующего условия:
III. Для всякой измеримой ограниченной функции g функция Ми,xg(xu(u + t, со)) измерима по совокупности переменных и, х относительно произведения а-алгебр SIX®, где Щ — а-алгебра борелевских множеств на [0, оо).
Л е м м а 2. Соотношение (13) выполняется для любого s-мар-ковского момента т, принимающего счетное множество значений.
Доказательство. Пусть tu t2, ..., tn, ...—все возможные значения т. Тогда {т = 4}е Пусть Ле©*- Тогда Л Л Л{т = fft} <=©<,.. Значит,
Ms, хгАё (Л (т + “)) = Е М*’ x^{x~tk]S (xs (т + “)) =
= I MSi x%AX{x=tk]g (Xs (ik + t, со)) =
= E Ms xXp = tk] n д: (& (*s (Jk + t, со)) | <Bt J =
= X x%{x=tkybAUtk, xs (tk, со)g(xtk (h + “)) =
= 5 Ms, x^{x-tk)Mx, Xs (x, u)8 К (T + “)) =
= + CO)).
Из этого равенства и вытекает (13). ¦
Приведем одно достаточное условие строгой марковости. Теорема 2. Пусть X — метрическое пространство, S3 — а-алгебра, порожденная некоторым классом непрерывных функций, и марковский процесс {*s (t, со), ©f, Ps, х} удовлетворяет условиям:
1) xs(t, со) непрерывно справа по t\ '
§ 1] ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА 393
2) для всякой измеримой ограниченной непрерывной функции f(x) функция
