Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 148

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 214 >> Следующая


ни была ограниченная измеримая функция g(*),

(©) 8 (xs (*> ®)) I (®) = Ма> хг\ (со) gs (.xs (t, со)) М„ ж (I (со) | SRJ) = = м, *8, (*.(*. “)) MS; * (I (СО) | Wt) MS) ж (т, (со) | Щ).
388 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. \'П

Отсюда вытекает равенство

.v (Jl (“) ? (“) Щ) = М., * (л Н I Щ) М., ^ (| (со) | 9^), (Ю)

выражающее независимость прошлого от будущего при заданном настоящем.

Укажем сейчас некоторые полезные расширения а-алгебр S'if, относительно которых марковость будет сохраняться. Обозначим 3lt’x пополнение ст-алгебры 91}? по мере Ps> х, PSiX — пополнение меры,

Тогда {.V; (s, со), Ps, х) (мы будем обозначать сужение меры на меньшую ст-алгебру тем же символом, если это не вызывает путаницы) также является марковским процессом. Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что выполнено (5), если заменить ЭТи. Пусть | (со) — ограниченная ^„-измеримая функция. Тогда она и 9С ^-измерима. Поэтому существует такая 51 (со), измеримая относительно 9^> что

Ps,^{i(©) = IiM}= 1-

Значит, при s < и < t (обозначая М интеграл по Р) будем иметь

М,. xg (xs (t, со)) | (со) = Ms. xg (xs (t, со)) h (0) =

= Ms, xh (со) Ms, * (g {xs (t, со)) I <Bf,) =

= MS) x|i (со) Mu, Xs [и, to)g (Xu (t, со)) — Ms, x% (0) Mu, xs (и, to)g (xu {t, CO)).

Из этого соотношения и вытекает (5).

Пусть теперь X— метрическое пространство, ст-алгебра 93 содержит все сферы. Обозначим

5R?+= П 9&

и > t

Теорема 1. Пусть а-алгебра S3 порождается множеством непрерывных функций, а вероятность перехода P(s,x,t,B) непрерывного справа марковского процесса {л:3 {t, со), Wt, PSj *} удовлетворяет условию: для всех s и t и ограниченной непрерывной S3-измеримой функции g(x) функция gs(x) = bfis,xg(xs(t, со)) непрерывна по х и удовлетворяет условию

lim | gs+h (х) — gs+h (у) | = 0.

А*0 у-> X

Тогда процесс {xs(t, а), 3lt+, Ps, х] также является марковским.
§ IT ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА' 389

Доказательство. Достаточно проверить соотношение (5), если = для непрерывных функций g(x). Пусть К®) — ^неизмеримая ограниченная функция. Тогда для любого h > 0 она З^+й-измерима. Следовательно,

Mi, xl (ш) g (Xs (t, со)) = Mi, xl (со) Mi, .V (g (xs (t, CO)) | 9^+ft) =

== Mi, (со) Mu + h, xs (u + h, со)g (Xu+h (ft ®)) =

— М5, (co) g„+A (л:5(« + A, co)). (11)

Заметим, что функция gu(xs(u, со)) является ограниченным мартингалом, так как при щ < и

м„к(*>. »))IK] =-м.,-[[м..-*(*.«. =

= М., «[*(*><'. »))•

Поэтому существует с вероятностью 1 предел (см. § 6 гл. IV) \imgu+h(xs(u + h, со)).

Так как в силу условия теоремы и непрерывности процесса справа с вероятностью 1

lim [gu+h (xs (« + h, со)) — gu+h (xs (и, со))] = О, fti о

то lim gu+h (xs(u + А, со)) = lim gu+h (л:5 (и, со)). Пусть г| обозначает

Л.^0 /1^0

общее значение этих пределов. г\ совпадает с ^-измеримой величиной (как предел таких величин) и, следовательно, имеет вид k(xs(u, со)), где к (у)—некоторая S-измеримая функция. Переходя в равенстве (11) к пределу при h\ 0, находим

М5,(со) g- (д:5(/, со)) = Ms, *? (со) A, (*s («, со)). (12)

Если | (со) ^-измерима, то левая часть этого равенства совпадает с выражением

Mi, х% (<в) М;<, xs («, a)g (Xs (t, (0)).

Поэтому

Mi x%, (w) Mu, xs (и, a>)g (11 to)) = Mi, xl (w) к (.?$ (ll, Сй))

для всех ^«-измеримых ограниченных величин ?,(со) и, значит, k(xs(u, Сй)) = Мц, jcs(«, a)g (^s (t> w)).
390

СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

1ГЛ. VII

Подставляя выражение для К в (12), убеждаемся в справедливости (5) при <S>t=9l?+. В

Замечание. Используя марковость процесса {xs(t, а>),

W-t+, Р,.,}, можем точно также, как (10), установить аналогичное равенство, если (<о) 9?*+-измерима. Пусть В е 9^+. Тогда %в является 9^+-измеримой и ^-измеримой. Значит,

Р«(я|»!) = м,,,(ад,|я!) =

= м.,, (хв |!»!) м.,, (ха | Я') = р;,„ (в | я-).

Поэтому в условиях теоремы 1 Ps X(S|^) может равняться или

0, или 1 для В е Щ+. Это утверждение носит название «закона 0 или 1» для марковских процессов.

В дальнейшем мы будем использовать понятие стохастической эквивалентности марковских процессов. Пусть имеется два марковских процесса {.vs(f, со), <5?, Ps, *} и {*s(f, <о), ©?, Ps,*} с одним и тем же фазовым пространством (X, S3) и заданных на одном и том же пространстве элементарных событий {Q, ©}. Они называются стохастически эквивалентными, если существует такой же марковский процесс {jcs(f, со), ©*, Ps, *}, для которого: ja) с: ©?, с5? с:©*; б) меры Ps>*, Ps, Ps. ^ совпадают на @s; в) для всех t
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed