Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА
385
Переходные вероятности процесса теперь можно ввести соотношением
Р (s, х, t, В) = PS( х ({a: xs (t, 0) е В}). (3)
Будем предполагать, что всегда выполнено условие
5) переходная вероятность измерима по х относительно а-алгебры S3.
Тогда из (2) легко получаем уравнение Колмогорова — Чепмена: при s < и < t
Р (s, х, t, В) = Ps, * ({со: xs (t, со) е В}) =
= Ms,*Ps, Д{ю:*Л^ю)еВ} |©?) = Ms,*P„,*s(„, ю) ({w: xu(t, в)ей})=
= Ms, ХР (и, xs (и, 0), t, В) — ^ Р (s, х, и, dy) Р (и, у, t, В).
Здесь и в дальнейшем через Ms, ж обозначается математическое
ожидание по мере Р5)Ж для @3-измеримой величины |(<в)
Ms, xl (w) = 5 I Н ps. х (da). (4)
Соотношение (2) можно записать в терминах математических ожиданий: при s < и < t
Ms, х (%s (t, w)) I == Mu, xs (u, <j>)g (xu (t, 0)) (mod Ps, x) (5)
для любой ограниченной ^-измеримой функции g. Действительно, взяв g(x) — %в(х), где %в — индикатор В, из (5) получим (2). С другой стороны, из (2) вытекает справедливость (5) для индикаторов измеримых множеств, а значит, и для простых функций, являющихся линейными комбинациями индикаторов; остается заметить, что любая ограниченная измеримая функция является равномерным пределом простых. Заметим также, что Ms, xg (xs(t, со)) является ^-измеримой функцией по х для всех неотрицательных S-измеримых g. Это вытекает из измеримости Ms, х%в (xs(t, со)), а значит, измеримости указанного выражения при простых g и g, являющихся пределами простых.
Пусть s < и < ti < ... < in, gu g2, ¦ ¦ ¦, gn — ограниченные ^-измеримые функции. Тогда
М,,х(Й 8k(*s(tk> Ш))|®«) =
= М., *,<«. <о) II 8к i.Xu (**• ®)) (mod PS, *)• (6) * fc = 1
386 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. Vi j
Действительно, используя повторные условные математические ожидания, получим
м.„ (й *.(*.(<.. “»1®0 -
- ч,, (м,, (п «, (*, (/,.«)) | | ®:)=
-к. (п g, с*. (<»,«.)) • .ув, ('»¦»)) I ®0 ¦
Теперь под знаком математического ожидания стоит произведение уже п — 1 функций, если считать последнюю функцию равной
Zn-M)Mtn_vXgn(\_x(tn, со)).
Поэтому, воспользовавшись индукцией, найдем
М,.,(п 8k(xs(t, <0))|©*) =
= Ms, Х (g. (X, (*1> “)) М/„ *,(*,. ф (*,, Ц» “)) X
XMt2>Xti(t2>(B)«3^t2(^ ©))Х ...
• • • х м w С**.-. “)) I ®3=
м
«, (и. со)'
•" хм<„-,(m<5dp..«> (7>
Полагая в последней формуле s — u, находим
м ж (Й gk (хи а, со))) = Мц (*„ (/, со)) х
со)) ... со)).
(8)
Если в (8) вместо х подставим xs(u, со), то получим выражение для правой части (6). Поскольку оно совпадает с правой частью (7), (6) доказано.
Введем ст-алгебры 5R® — это ст-алгебры событий, порожденная величинами xu(tr, со) при и ^ s, f е [s, <]. 5ft? — ст-алгебра событий, порожденных процессом, наблюдаемым на отрезке [s, t\. Так как в силу условия д, 2) xu(f, со) ©^-измеримо при
§ 1] ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА 387
и ^ 5 ^ t' ^ t, то cz ©?. а-алгебры 9^ удовлетворяют всем условиям, которые налагались на а-алгебры ©? при определении марковского процесса (это условия б), д 2) и д 4)). В проверке нуждается лишь условие д 4). Но по формуле повторных условных математических ожиданий
Ms, * (g (Xs (t, со)) I = Ms, * (Ms, * (g (Xs (t, со)) I ©и) I %) =
== Mi, x (Мц, xs(u, a>)g{Xu {t> со)) I = Mu, xs(u, a)g (Xu {t> Сй))
(mod PSl *),
так как yiSuCZ<&su и xs{u, со) — 9?и-измеримая величина, а функция Mu,xg{xu(t> со)) — 23-измерима. Мы показали, что (5) имеет место, если ©? заменить на ЭТц.
Таким образом, если {дс* (s, со), ©?, Ps, *} —марковский процесс, то и {.*, ($, со), 9t?, Ps, х}, где Ps, * — ограничение меры Ps, * на ЭД* = (J Mi, также является марковским. Очевидно, что 9^? —
семейство минимальных а-алгебр, относительно которых xt(s, со) может быть марковским.
Приведем, наконец, соотношение, обобщающее (6) и выражающее марковское свойство в самом общем виде. Пусть |(со) является ограниченной Э1*-измеримой величиной. Тогда при s ^ и i
Ms, *(g(co) |©?) = MU, ^(u,o))E(co) (mod Ps, x)- (9)
(9) вытекает из (6), так как всякая ограниченная ^-измеримая величина представима как предел по вероятности Рв,ж сумм вида
ЕПяГМГ. «))•
т а I
Пусть, далее, г| (со) — ©f-измеримая величина. Из (9) вытекает Mi, xl (со) Ms, *(т1 (со) | 9^0 = Ms. х'Ц (со) Е (ей) = Ms, хУ\ (со) Mi, xs(t, ш)Е(со) = = М., ж (М(> ^ (<1 ^ (СО)) М., хК I 94) = Ms> Х1 (со) MSi ж (п (со) IЩ. Значит,
MSi,(n(co)W = MS)^nHI^).
В силу (9) и Ms х (I (со) | — Ms х (I (со) | 9^). Поэтому, какова бы
