Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
ак
С
? Р {Ak} < (In а)'1 с-з $ 1 Р {| ? (t) | > *(*)} dt.
k=i ai
Значит, с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий Ak. Используя рассуждения теоремы 4, убеждаемся, что функция Я(1 +2 e)k2(a2) g(t) при X > 1 будет верхней для |?(f)|-Так как k2 (а)-> 1 при а-у 1, то из того, что а— 1 и е > Q могут быть сделаны сколь угодно малыми, и вытекает утверждение теоремы. Ж
Анализируя доказательства теоремы 4, нетрудно убедиться, что справедлива
Теорема 8. Пусть l(t)— однородный процесс с независимыми приращениями. Если функция регулярного роста такова, что при любом а >¦ 1 расходится ряд
00
1 P{IE(a*)l>g(a*)},
k~\
то при всяком 0 < Я < 1 функция Xg(t) будет нижней функцией для |? (t) I, т. е.
g(t) )
Результаты теорем 7 и 8 можно переформулировать для того случая, когда t —> 0, аналогично тому, как это сделано в замечании 1.
ГЛАВА VII
СКАЧКООБРАЗНЫЕ марковские процессы
§ 1. Общее определение марковского процесса
В § 4 гл. I уже рассматривались марковские процессы в широком смысле. Там же были введены вероятности перехода марковского процесса P{s,x,t,A) — вероятность находиться процессу в момент t во множестве состояний А при условии, что в момент s он находился в состоянии х. Вероятности перехода позволяют построить при помощи теоремы Колмогорова (гл. III, § 2) целое семейство вероятностных мер в пространстве функций Рз.ж, задаваемых на цилиндрических множествах пространства F[Si0о) всех функций, определенных на [s, оо), равенствами: при s < h < ... <th
Ps. х {х (•): х (ifi) е Ль ..., х (tk) se Ak} =
= ^ P(s, x, th dxd ... ^ P(tk-i, xk-u h, dxk). (1)
Л Ak
Меры Р5,ж естественно трактовать как условные распределения марковского процесса, рассматриваемого на промежутке [s, оо), при условии, что в момент s он находился в состоянии х. Таким образом, в отличие от обычного определения случайного процесса, когда имелось лишь одно вероятностное пространство, при рассмотрении марковских процессов мы будем исходить из некоторого семейства вероятностных пространств, которые будут различаться как ст-алгебрами, так и мерами.
В гл. IV было показано, что во многих случаях удается построить меру, согласованную с конечномерными распределениями процесса, на более узком функциональном пространстве, чем пространство всех функций. Процессы, выборочные функции которых обладают определенными свойствами регулярности, представляют собой более богатый объект для изучения, и для приложений они более важны. Поэтому мы будем предполагать, что выборочные функции процесса при условии, что он начинается в момент s, принадлежат некоторому функциональному
384
СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VII
пространству Fs (s^O). Функциональные пространства Fs согласованы следующим образом: для всех х(-) ^Fs ограничение функции х(-) на [и, оо) (и > s) принадлежит Fu.
Наконец, при изучении марковских процессов очень существенную роль играет такое понятие, как «прошлое». Если процесс начался в момент s, то «прошлое» в момент t определяется теми событиями, которые можно наблюдать на промежутке времени [s, /]. Множество таких событий обозначим ©?. Естественно предположить, что ©? есть [некоторая ст-алгебра, причем ©?, сг с: ©*, при и что значение процесса в момент t измеримо
относительно ©* (это означает, что значение процесса в данный момент может быть наблюдаемо).
Итак, будем говорить, что задан марковский процесс, если заданы следующие объекты:
а) измеримое пространство {X, 0}—фазовое пространство процесса;
б) семейство функциональных пространств Fs (s ^ 0) функций со значениями в X, удовлетворяющих условию согласования: ограничение функции из Fs на [и, оо) принадлежит Fu при и > s;
в) измеримое пространство {Q, ©}, совокупность ст-алгебр ©®сг ©, определенных при 0 ^ s ^ t < оо, таких, что ©?,‘с:©*{ при [si, /i] с: [s2, /2];
г) семейство вероятностных мер Ps, ж, s е [0, 00), jeJf, определенных на ст-алгебрах ©S = U®?'>
t
д) функция xs(t, со), определенная на [s, 00) и удовлетворяющая условиям:
1) xs( •, со) е Fs при шей;
2) xs(t, со) измерима относительно ©“, каковы бы ни были s jg; и ^ /;
3) Ps, :с ({со: xs(s, со) х}) — 1,
4) при Ве8, s < и < t
Ps, х ({ш: xs (t, со) е В) | ©„) =
= Pu,xs(u, а)({ш: хи (/, й))е=В}) (mod Ps, х). (2)
Марковский процесс, определяемый перечисленными объектами, будем обозначать {х5(/, со), ©?, Ps, х}; xs(-,a) — выборочные функции процесса; ©? — ст-алгебра событий, наблюдаемых на [s, /]; Ps, ж — распределение вероятностей для процесса, начинающегося в момент s из точки х; (2) определяет основной свойство марковости (марковское свойство) — независимость от прошлого при заданном настоящем.
