Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 145

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 214 >> Следующая


Используя оценки

оо оо

* ^ e~u’12 du < -,4=- ^ du = е~^2 (г > 0),

у2п J у 2л J 2 у2п z

z z

оо Z +1

-L= ^ <?-“’/? du > » ^ е~“212 > -}= e-(*+i)*/2 (z > о),

V 2it J V 2it j У2я

Z 2

убеждаемся в справедливости неравенства

virехр {-Ur+ ‘У' 1} <'р (,) >г> < Viт г"5Г-

Покажем, что (1 + б) V2f In In f и (1 — e)V2flnlnf при любом

е е (0, 1) будут соответственно верхней и нижней функциями.

Действительно,

Р{и> (f) > (1 -f е) V2f In ln f } <

< . .. , . 1 .=¦ exp ( - (^ + 8)221nl1^ ) = О ((In t)"1+e)!),

V2it(1 +e)22!nln/ \ 2 J
380

ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ

[ГЛ. VI

а интеграл ^ ^ ^ ^7T+i)T ПРИ с ^ ^ СХ0ДИТСЯ- С другой стороны,

С ^

Р \w (ak) > (1 — е) л/2ак In In ak }

^ ^7^^6ХР ( — "2" ^1 “ 8) V21nlnaft + l)2j =

р-1/2

ехр {— (1 — e)2ln In ак — (1 — е)л/2 In In ak

V2n

»W[l"0‘r = t’

где ci — некоторая постоянная, если только

<х>(1 — е)2 + (1 — е) д/ 2 — .

V In In ая

Очевидно, что для достаточно больших k можно взять а С 1. Следовательно, ряд 2 Р {w (ak) > (1 — е) У 2а* In In ak } расходится. Таким образом, доказана

Теорема 5. Если w(t) — сепарабельный процесс броуновского движения, то

( lim w _ 1 ) .

( t->00 y2t\n\nt J

1.

Используя замечание 1, можно установить, что справедлива Теорема 6. Если w(t) — сепарабельный процесс броуновского движения, то

([Щ—.-^1=^=1): V"*0 д/2Пп 1п т )

1.

Теоремы 5 и 6 называют «законом повторного логарифма». При изучении верхних и нижних функций для |1(<)|, где КО— процесс с независимыми приращениями, используются некоторые вспомогательные предложения.

Лемма 2. Пусть |], ..., —независимые случайные вели-

чины, Sk = 1! + ... + и при некоторых а < 1 и с > 0

Р{| Sn — Sk | > с) <а, k = \,2,...,n.

Тогда при а > 0

Р {sup | Sk | > а + с} < -r-i— Р {| Sn | > а), k 1 u

Доказательство. Имеем

Р (И К sup|5;| <а + с}П{|5,|>а+с}П

П{|5„-5,|<с}])<Р{|5п|>а}.
5 5] СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИИ 381

Поэтому

?Р({ sup |S,|<a + c}n{|S*|>a + с» Р {| S„ - S* |< с} <

V < < ft — 1

<Р{| SJ > а),

Г?Р({ sup |SJ<a + c}n{|Sftl>a + c})l(l-a)<P{|SJ > а}.

LT i<ft-l J

В квадратных скобках слева стоит Р {sup| [ > а + с}. Ш

k

Лемма 3. Пусть l(t)— сепарабельный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями, для которого существует такое a.< 1, что при О < s ^

> с}^ а. Тогда для всякого х > О

Р{ sup I g(s)! > с + *}< -г-!— Р {| ЦТ) I > х). (6)

0<s<T 1 ~ а

Доказательство. Из леммы 2 вытекает соотношение

Р{||“|>ЙГ)|>*+С}«Т^Р(15<Г>'>'>-

Переходя к пределу при м->оо, получаем доказательство леммы. В

Теорема 7. Пусть l(t)—сепарабельный однородный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями и g(t)— функция регулярного роста такая, что при любом

е > 0 __

lim Р {| l{t) | > eg(t)} < 1

t-> оо

и

оо

5 -j-P{IE(0!>g(0}^<

Тогда при любом 1 функция Xg(t) будет впг>уцгй функцией для || (0 |, т. е.

Р { Пт 1 } = 1.

lf-»oo g(t) >

Доказательство. Выберем ае( 1,2) и е>0. Обозначим через Ak событие {sup | l(t) | > (1 + 2е) g(afe+1)}. Из условий теоремы вы-

текает, что существуют такие с > 0 и Т0, что Р {11 (t) | > eg (t)j

— с при t > Т0. Поэтому для достаточно больших k при t < ak Р (I I (ak) -l(t)\> eg (a*+>)} = P {11 (ak - t) | > eg (a*+')} <

( sup P {| ? (s) | > eg(s)} )

<r \ s>r’ I <\ —

sup P{\l(s)\>eg(a^)} C’
382 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. V!

так что для всех достаточно больших к на основании леммы 3 Р {^} < 1 Р {| | (а*) I > (1 + е) g («*+>)}•

Учитывая, что при t^[ak, ак+]] имеем t — ak^.(a — 1 )ак^.ак и, значит Р {| l(t) — I (ая) \ > eg(ak)} < 1 — с для достаточно больших k, получаем

Р {Ak} < j? Р (! ? №) I > (1 + е) g (ак+>)} X

X Р {11 (t) - I (ак) | < eg (ак+1)} < ± Р {[ | (О I > g (ак+ >)} <

<^P{\l(t)\>g(t)},

так что

aft+i

Р^х11^ $ !р{||(01>*(0}Л,
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed