Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Используя оценки
оо оо
* ^ e~u’12 du < -,4=- ^ du = е~^2 (г > 0),
у2п J у 2л J 2 у2п z
z z
оо Z +1
-L= ^ <?-“’/? du > » ^ е~“212 > -}= e-(*+i)*/2 (z > о),
V 2it J V 2it j У2я
Z 2
убеждаемся в справедливости неравенства
virехр {-Ur+ ‘У' 1} <'р (,) >г> < Viт г"5Г-
Покажем, что (1 + б) V2f In In f и (1 — e)V2flnlnf при любом
е е (0, 1) будут соответственно верхней и нижней функциями.
Действительно,
Р{и> (f) > (1 -f е) V2f In ln f } <
< . .. , . 1 .=¦ exp ( - (^ + 8)221nl1^ ) = О ((In t)"1+e)!),
V2it(1 +e)22!nln/ \ 2 J
380
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
[ГЛ. VI
а интеграл ^ ^ ^ ^7T+i)T ПРИ с ^ ^ СХ0ДИТСЯ- С другой стороны,
С ^
Р \w (ak) > (1 — е) л/2ак In In ak }
^ ^7^^6ХР ( — "2" ^1 “ 8) V21nlnaft + l)2j =
р-1/2
ехр {— (1 — e)2ln In ак — (1 — е)л/2 In In ak
V2n
»W[l"0‘r = t’
где ci — некоторая постоянная, если только
<х>(1 — е)2 + (1 — е) д/ 2 — .
V In In ая
Очевидно, что для достаточно больших k можно взять а С 1. Следовательно, ряд 2 Р {w (ak) > (1 — е) У 2а* In In ak } расходится. Таким образом, доказана
Теорема 5. Если w(t) — сепарабельный процесс броуновского движения, то
( lim w _ 1 ) .
( t->00 y2t\n\nt J
1.
Используя замечание 1, можно установить, что справедлива Теорема 6. Если w(t) — сепарабельный процесс броуновского движения, то
([Щ—.-^1=^=1): V"*0 д/2Пп 1п т )
1.
Теоремы 5 и 6 называют «законом повторного логарифма». При изучении верхних и нижних функций для |1(<)|, где КО— процесс с независимыми приращениями, используются некоторые вспомогательные предложения.
Лемма 2. Пусть |], ..., —независимые случайные вели-
чины, Sk = 1! + ... + и при некоторых а < 1 и с > 0
Р{| Sn — Sk | > с) <а, k = \,2,...,n.
Тогда при а > 0
Р {sup | Sk | > а + с} < -r-i— Р {| Sn | > а), k 1 u
Доказательство. Имеем
Р (И К sup|5;| <а + с}П{|5,|>а+с}П
П{|5„-5,|<с}])<Р{|5п|>а}.
5 5] СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИИ 381
Поэтому
?Р({ sup |S,|<a + c}n{|S*|>a + с» Р {| S„ - S* |< с} <
V < < ft — 1
<Р{| SJ > а),
Г?Р({ sup |SJ<a + c}n{|Sftl>a + c})l(l-a)<P{|SJ > а}.
LT i<ft-l J
В квадратных скобках слева стоит Р {sup| [ > а + с}. Ш
k
Лемма 3. Пусть l(t)— сепарабельный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями, для которого существует такое a.< 1, что при О < s ^
> с}^ а. Тогда для всякого х > О
Р{ sup I g(s)! > с + *}< -г-!— Р {| ЦТ) I > х). (6)
0<s<T 1 ~ а
Доказательство. Из леммы 2 вытекает соотношение
Р{||“|>ЙГ)|>*+С}«Т^Р(15<Г>'>'>-
Переходя к пределу при м->оо, получаем доказательство леммы. В
Теорема 7. Пусть l(t)—сепарабельный однородный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями и g(t)— функция регулярного роста такая, что при любом
е > 0 __
lim Р {| l{t) | > eg(t)} < 1
t-> оо
и
оо
5 -j-P{IE(0!>g(0}^<
Тогда при любом 1 функция Xg(t) будет впг>уцгй функцией для || (0 |, т. е.
Р { Пт 1 } = 1.
lf-»oo g(t) >
Доказательство. Выберем ае( 1,2) и е>0. Обозначим через Ak событие {sup | l(t) | > (1 + 2е) g(afe+1)}. Из условий теоремы вы-
текает, что существуют такие с > 0 и Т0, что Р {11 (t) | > eg (t)j
— с при t > Т0. Поэтому для достаточно больших k при t < ak Р (I I (ak) -l(t)\> eg (a*+>)} = P {11 (ak - t) | > eg (a*+')} <
( sup P {| ? (s) | > eg(s)} )
<r \ s>r’ I <\ —
sup P{\l(s)\>eg(a^)} C’
382 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. V!
так что для всех достаточно больших к на основании леммы 3 Р {^} < 1 Р {| | (а*) I > (1 + е) g («*+>)}•
Учитывая, что при t^[ak, ак+]] имеем t — ak^.(a — 1 )ак^.ак и, значит Р {| l(t) — I (ая) \ > eg(ak)} < 1 — с для достаточно больших k, получаем
Р {Ak} < j? Р (! ? №) I > (1 + е) g (ак+>)} X
X Р {11 (t) - I (ак) | < eg (ак+1)} < ± Р {[ | (О I > g (ак+ >)} <
<^P{\l(t)\>g(t)},
так что
aft+i
Р^х11^ $ !р{||(01>*(0}Л,