Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 144

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 214 >> Следующая


1

Тогда для любого X > 1 функция Xg(i) будет верхней функцией для процесса ?(/) ири /-> оо.

Доказательство. Пусть а > 1. Обозначим через Ah событие, заключающееся в том, что sup \ {t) > g (ak+l). Тогда на осно-

0

вании леммы 1

Р {А*} <2Р{| (а*) >?(«*+'))•

Но при / е [ak, ak+x] будет g(t) < g(ah+l), 2Р{| (i)— |(aft) > ^ 0} ^ 1, поэтому

P {Ak} < 4P {I (ak) > g (0} P {| (0 - I (ak) > 0} < 4P {| (0 > g (*)}• Следовательно,

a*+l a*+1

S }Р{Л*}Л<4 5 }p{Ut)>g(t)}dt

ab

И

n °°

Z J гР{?(0>г(0}л.

k=i i

Из леммы Бореля — Кантелли следует, что с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий Ак, т. е., начиная с некоторого (вообще говоря, случайного) номера, события Л), не
§ 5] СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИЙ 377

происходят. Значит,

Р { Йш —-4 sup 6(/)<l{ = l.

При / e ak]

~~u ( 2\ / ^ "T j -a j 1\ sup Ё, (t) j-v sup %($)•

k-2 W)g{t) k2(ai)g(aR ‘) ak-\<t<ak s\a ) ak~^t<ak

Поэтому Xg{t) при любом a > 1 и %>k2(a2) будет верхней функцией для %{t). Ш

Очевидно, что утверждение теоремы справедливо и для неоднородного процесса %{t), так как при доказательстве теоремы однородность не использовалась.

Теорема 4. Пусть l,(t) — симметричный однородный процесс с независимыми приращениями, a g(t) — функция регулярного роста, удовлетворяющая условию: для всех а > 1 ряд

оо

2 Р {?, (afe) > Я (afe)} расходится. Тогда Kg(t) будет нижней

k=\

функцией для процесса %(t) для любого Яе(0, 1) при t-> оо. Доказательство. Рассмотрим два случая.

1) Пусть

Ит P{\l(t)\<g(t)} = 0.

t -> оо

Тогда найдется такая последовательность 4^°°, что P{\l(tk)\<g(tk)}<2-k.

Следовательно, в силу леммы Бореля — Кантелли

Р { Tim -LiML^i} = i.

U^oo 8(h) )

Но тогда, каково бы ни было Ае(0, 1),

p{«iSiJOTf>1}“1' (5)

2) Пусть

Иш Р{Ц(0 < g(t)} > 6 > 0.

t -> ОО

Тогда для всех достаточно больших t

P{\l(t)\<g(t)}>(,.

Рассмотрим независимые события

Bk = (ai+I) — I (ak) > g (a4+!) — g (ak)},
378 ПРОИПГСЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩПНИЯМИ [ГЛ. VI

где а > 1. Тогда

я(а*)

P(Bfe)> 5 P{Uak+')-z>g(ak+l)-g(ak)}P{t(aS)^dz}^

-g iak)

g(ak)

^P{Ua^)> g{ak^)} J P{Uak)^dz} =

-g(ak)

= P {? (ak+l) > g (aft+1)} P {| I (ak) | < g (ak)} >

>P{l(ak+l)> g(ak+'‘)} 6

для достаточно больших k.

oo

Следовательно, ряд X P {} расходится, и поэтому на ос-fe=i

новании леммы Бореля — Кантелли с вероятностью 1 произойдет бесконечно много событий В*. Заметим, что событие Bk влечет одно из событий

{— l(ak) > g{ak)}, (?(a*+1) > g (ak+i) — 2g (a*)}.

Поэтому с вероятностью 1 происходит бесконечно много событий

{U(aft)l > g{ak) — 2g{ak-')}.

Выбирая а так, чтобы

g (ak) — 2g(ak~l) = g (ak) [ 1 — >

>g(ak)[l (0 < Я < 1)

(возможность такого выбора а обеспечивается регулярностью роста g(t)), убеждаемся, что и в этом случае выполнено (5). Введем события

Тогда из (5) вытекает, что P(C’l)Z?)=l. Из симметрии процесса ?,(t) заключаем, что Р(С) — Р (D). Наконец, из «закона нуля и единицы» (теорема 7 § 4 гл. II) следует, что Р(С) и P(D) могут равняться лишь нулю или единице. Значит, р(С) = = Р(/5) = 1, так как в противном случае Р(С) — 0, а значит, и P(CUZ)) — 0, что противоречит (5). Ш

Замечание 1. Не меняя доказательства теорем 3 и 4, беря лишь a <С 1, убеждаемся в справедливости следующих утверждений:
§ 5) СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИЙ 379

пусть ф (/) — функция регулярного роста;

а) если §(/)— симметричный сепарабельный однородный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями,

1

^ -j-Р {|(f) > 4>(t)}dt < оо,

о

то при \ > 1 функция top(f) будет верхней для процесса l(i) при 11 0, т. е.

Р 1 1 = 1;

б) если ?(f)— однородный симметричный процесс с незави-

оо

симыми приращениями, для которого ряд X Р U (a>t) > ф(я6)}

fe= I

расходится при любом а < 1, то при К < 1 функция Acp(f) будет нижней для ?(f) при t\ 0, т. е.

р{®>даг>|}=1-

Применим полученные результаты к процессу броуновского движения. Этот процесс является симметричным.
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed