Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
1
Тогда для любого X > 1 функция Xg(i) будет верхней функцией для процесса ?(/) ири /-> оо.
Доказательство. Пусть а > 1. Обозначим через Ah событие, заключающееся в том, что sup \ {t) > g (ak+l). Тогда на осно-
0
вании леммы 1
Р {А*} <2Р{| (а*) >?(«*+'))•
Но при / е [ak, ak+x] будет g(t) < g(ah+l), 2Р{| (i)— |(aft) > ^ 0} ^ 1, поэтому
P {Ak} < 4P {I (ak) > g (0} P {| (0 - I (ak) > 0} < 4P {| (0 > g (*)}• Следовательно,
a*+l a*+1
S }Р{Л*}Л<4 5 }p{Ut)>g(t)}dt
ab
И
n °°
Z J гР{?(0>г(0}л.
k=i i
Из леммы Бореля — Кантелли следует, что с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий Ак, т. е., начиная с некоторого (вообще говоря, случайного) номера, события Л), не
§ 5] СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИЙ 377
происходят. Значит,
Р { Йш —-4 sup 6(/)<l{ = l.
При / e ak]
~~u ( 2\ / ^ "T j -a j 1\ sup Ё, (t) j-v sup %($)•
k-2 W)g{t) k2(ai)g(aR ‘) ak-\<t<ak s\a ) ak~^t<ak
Поэтому Xg{t) при любом a > 1 и %>k2(a2) будет верхней функцией для %{t). Ш
Очевидно, что утверждение теоремы справедливо и для неоднородного процесса %{t), так как при доказательстве теоремы однородность не использовалась.
Теорема 4. Пусть l,(t) — симметричный однородный процесс с независимыми приращениями, a g(t) — функция регулярного роста, удовлетворяющая условию: для всех а > 1 ряд
оо
2 Р {?, (afe) > Я (afe)} расходится. Тогда Kg(t) будет нижней
k=\
функцией для процесса %(t) для любого Яе(0, 1) при t-> оо. Доказательство. Рассмотрим два случая.
1) Пусть
Ит P{\l(t)\<g(t)} = 0.
t -> оо
Тогда найдется такая последовательность 4^°°, что P{\l(tk)\<g(tk)}<2-k.
Следовательно, в силу леммы Бореля — Кантелли
Р { Tim -LiML^i} = i.
U^oo 8(h) )
Но тогда, каково бы ни было Ае(0, 1),
p{«iSiJOTf>1}“1' (5)
2) Пусть
Иш Р{Ц(0 < g(t)} > 6 > 0.
t -> ОО
Тогда для всех достаточно больших t
P{\l(t)\<g(t)}>(,.
Рассмотрим независимые события
Bk = (ai+I) — I (ak) > g (a4+!) — g (ak)},
378 ПРОИПГСЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩПНИЯМИ [ГЛ. VI
где а > 1. Тогда
я(а*)
P(Bfe)> 5 P{Uak+')-z>g(ak+l)-g(ak)}P{t(aS)^dz}^
-g iak)
g(ak)
^P{Ua^)> g{ak^)} J P{Uak)^dz} =
-g(ak)
= P {? (ak+l) > g (aft+1)} P {| I (ak) | < g (ak)} >
>P{l(ak+l)> g(ak+'‘)} 6
для достаточно больших k.
oo
Следовательно, ряд X P {} расходится, и поэтому на ос-fe=i
новании леммы Бореля — Кантелли с вероятностью 1 произойдет бесконечно много событий В*. Заметим, что событие Bk влечет одно из событий
{— l(ak) > g{ak)}, (?(a*+1) > g (ak+i) — 2g (a*)}.
Поэтому с вероятностью 1 происходит бесконечно много событий
{U(aft)l > g{ak) — 2g{ak-')}.
Выбирая а так, чтобы
g (ak) — 2g(ak~l) = g (ak) [ 1 — >
>g(ak)[l (0 < Я < 1)
(возможность такого выбора а обеспечивается регулярностью роста g(t)), убеждаемся, что и в этом случае выполнено (5). Введем события
Тогда из (5) вытекает, что P(C’l)Z?)=l. Из симметрии процесса ?,(t) заключаем, что Р(С) — Р (D). Наконец, из «закона нуля и единицы» (теорема 7 § 4 гл. II) следует, что Р(С) и P(D) могут равняться лишь нулю или единице. Значит, р(С) = = Р(/5) = 1, так как в противном случае Р(С) — 0, а значит, и P(CUZ)) — 0, что противоречит (5). Ш
Замечание 1. Не меняя доказательства теорем 3 и 4, беря лишь a <С 1, убеждаемся в справедливости следующих утверждений:
§ 5) СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИЙ 379
пусть ф (/) — функция регулярного роста;
а) если §(/)— симметричный сепарабельный однородный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями,
1
^ -j-Р {|(f) > 4>(t)}dt < оо,
о
то при \ > 1 функция top(f) будет верхней для процесса l(i) при 11 0, т. е.
Р 1 1 = 1;
б) если ?(f)— однородный симметричный процесс с незави-
оо
симыми приращениями, для которого ряд X Р U (a>t) > ф(я6)}
fe= I
расходится при любом а < 1, то при К < 1 функция Acp(f) будет нижней для ?(f) при t\ 0, т. е.
р{®>даг>|}=1-
Применим полученные результаты к процессу броуновского движения. Этот процесс является симметричным.
