Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из полученного соотношения вытекает, что событие, заключающееся в том, что для всех пар рациональных точек 4, t2, для которых 4 < 4, выполняется неравенство 1(4) ^?(4), имеет вероятность 1. Если учесть, что, кроме того, l(t) с вероятностью 1 не имеет разрывов второго рода и с вероятностью 1 1(f) совпадает либо с l(t — 0), либо с g(/ + 0) (ввиду сепарабельности процесса 1(0). получаем, что с вероятностью 1 ?(4)^ 1(h) Для всех пар 4, 4, для которых 4 < 4- В
Исследуем условия, при которых реализации процесса l(t) с вероятностью 1 имеют ограниченную вариацию.
Напомним, что вариацией на [а, Ь] функции x(t), определенной на [а, Ь] и принимающей значения из X, называется величина varx(/), определяемая соотношением
[а, Ь]
га-1
var л: (t) — sup Ц | х (4) — х (4+,) |,
[а, Ь| i =0
причем точная верхняя грань берется по всевозможным разбиениям отрезка [а, Ь\. а = 4 < 4 < • • • < tn = Ь.
Теорема 2. Для того чтобы реализации сепарабельного стохастически непрерывного процесса %(t) с независимыми приращениями, определенного на отрезке [0, Т], имели на этом отрезке с вероятностью 1 ограниченную вариацию, необходимо и достаточно, чтобы характеристическая функция величины l(t) определялась формулой (10) § 4, в которой var a(t)<oo,
Ю. Т]
o(t) = 0, а мера Y[{t,A) такова, что
^ | л: | Г1 (4 dx) < 00.
0 < \х |<1
372 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI
Доказательство. Докажем сначала достаточность условий теоремы. Так как процесс, определяемый соотношением
l(t,Xi)= \ xv (t, dx), будет с вероятностью 1 кусочно посто-
I х I > 1
янным, то его вариация, совпадающая с суммой абсолютных величин скачков, будет конечной. Функция a{t) по условию теоремы имеет ограниченную вариацию, поэтому для доказательства ограниченности вариации l(t) достаточно доказать ограниченность
вариации интеграла ^ xv (t, dx) как функции t (см. фор-
о < | * | < I
мулу (7) § 4). Рассмотрим процесс
(t) = ^ xv (t, dx).
е < | х | < I
Легко подсчитать, что вариация процесса |(е)(0 на отрезке [О, Т] будет равна
var ?(е) (/) = var \ xv (t, dx) + var \ *11 (t, dx).
Поэтому
var |(e> (t) ^
№. t\
n
< ^ |x|v(7\ dx) + sup]T ^ \x\{U.{tk, dx)—ll{tk-udx))=^
e <I *|<l k=\ e <1x|< l
= J \x\v(T,dx)+ J |*|П(7\ </*)<
В < | X I < 1 В < I X К 1
<[lim ^ | x | v (T, dx) + ( I x | П (T, dx).
8^° e < | x | < l 0 <|xl<l
Существование lim \ \x \ v (T, dx) вытекает из того, что
в-*0 ^ ^ . е < | х I < 1
величина J |х|v(Т, dx) монотонно зависит от е и в < I х |< 1
М J |*|v(7\rf*)< J |*Ш(7\ dx) < оо.
е < 1 х I < 1 0 < I х I < 1
Можно подобрать последовательность &п, стремящуюся к нулю при я->оо, так, чтобы последовательность процессов (t)
§ 5] СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИИ 373
с вероятностью 1 равномерно сходилась к процессу ^ xv (t, dx).
о < | х | < 1
Поэтому с вероятностью 1 выполняется соотношение
var \ xv(t,dx)^. \ \x\v(T,dx)+ [ \x\ll{T,dx).
fn T] J J J
lu> J 0 < | л: |< 1 0 < | x | 1 0 < |x I < I
(Легко видеть, что если xn(t)—.*x(t) при каждом t, то
m-1 m-1 ____
? \x(tk+i) — x{tk)\=Um 2 \xn{tk+i)~ xn(4)Klim varxn{t),
n->co k = 0 rt->oo [0, T]
а значит, varx(^) ^lim \ax xn(t).) Отсюда и вытекает ограни-
[0, Т] п->«, [0, Т]
ченность вариации ^ xv(t,dx).
0 < \х I < 1
Докажем теперь необходимость условий теоремы. Пусть вариация КО на отрезке [0, Т] ограничена. Тогда она будет конечной и на каждом отрезке, являющемся частью [0, Т]. Рассмотрим процесс
?(0 = var?(s).
[0,f]
Этот процесс будет также процессом с независимыми приращениями, так как приращение К^)—КМ ПРИ U<~h является вариацией процесса на отрезке [^, и поэтому зависит лишь от приращений процесса КО на отрезке [t\, t?\ и не зависит от значений КО при t ^ th а значит, и от значений КО при t^.tь КО будет стохастически непрерывным процессом, так как вариация varx(s) функции x(s) может иметь разрывы [0. f]
лишь в точках разрыва самой функции x(s), а процесс 1(0 ввиду стохастической непрерывности не имеет фиксированных разрывов. Очевидно, наконец, что КО является неубывающей функцией. Из сказанного выше вытекает, что всегда К^ + 0) —
