Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 2. Если ?(/)— скачкообразный процесс с независимыми приращениями, то его приращение %(t)— ?(и) (и <Z t) имеет характеристическую функцию:
М ехр {/ (z, ? (0 — I («))} = ехр I ( ( (е1 (г> *> — 1) я* (dx) dh (s) I, (1)
( u 3im j
где e~K^ = P{ti > s} — распределение момента первого скачка, а л5(Л) —условное распределение первого скачка при условии, что он произошел в момент s.
Замечание. Из (1) вытекает, что характеристическая функция ?(/) — ?(0) имеет вид
ехр/ ^ (е‘ (z> *> — 1)П* (d*)|,
)
(2)
t
где П* (А) = ^ я5(Л) d\ (s) — конечная мера на §lm. Покажем, что
о
это условие и достаточно для того, чтобы процесс был скачкообразным. Действительно, если величина ? имеет безгранично делимое распределение с характеристической функцией
э-п (ят)
оо
ехр { П (Ят) J е' *) } = Z ^jf1- е"п (z))\
0
V
то ? имеет такое же распределение, как Ц где т]*, независимы
1
и имеют характеристическую функцию <p(z), a v имеет распределение Пуассона с параметром П(^?т). Значит,
Р {| ф 0} < Р {v Ф 0} < I - е~п (**).
334 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI
Поэтому, если l(t)—?(0) имеет характеристическую функцию (2), то
Р{| Ик)-1(1к-х)Ф 0}<
^ I _ ехр {- Пц тт) + (Жт)) < Uik (9Г) - (9Г).
Поэтому выполнено условие теоремы 1.
Рассмотрим теперь однородный скачкообразный процесс l(t) (см. гл. I, § 3). Очевидно, что в этом случае и процесс v(t) будет однородным. Поэтому функция K(t) имеет вид Kt, где К — некоторая постоянная. Далее, из (1) вытекает, что
М ехр {г (z, | (f + /г) — ? (t))} =
( t+h
= ехр| % ^ ^ (е«(г, *)_ j)ns(dx)ds
[ t Sim
= ехр|я ^ ^ (ei(Zi х) — l)ns+i(dx)ds
I 0 ят j
и последнее выражение не должно зависеть от t. Отсюда вытекает, что и п8(Л) от s не зависит. Таким образом, в этом случае величины |(ti)—1(0) и Ti независимы.
Теорем а 3. Если l(t) (|(0) = 0) — скачкообразный однородный процесс с независимыми приращениями, то процесс (t) = l(t + ti)—|(ti) также является однородным процессо-м с независимыми приращениями, не зависящим от и t]i = |(ti).
Доказательство. Пусть 0 < Si < ... < sh, z0, zx.............zh e
Тогда
Mrh'+i <z°-Tll) exp {i Z I (sj + tj) — | (tj))} =
= lim M exp {— + i (z, r\W) + i Z {z,, ? (s, + t<ft>) — | (t<ft>))},
tft>o (. 4 ' 1=\ )
(3)
где xw — nh, если |(//г) = 0 для 1—\,...,п—\,\(пЬ)ф§. Далее,
М ехр | — KxW + / (z0, пW) + i X (zf, | (Sj + T<ft>) — g (т<л>)) j =
oo
= 2 M exp
n-1
+ i Z (z}, ? (Sj + nh)-l {nh)) j =
( — hnh + i (z0, | {tih)) +
СКАЧКООБРАЗНЫЙ nPOUFXC
335
= М ехр | г 2 (zf> I («/)) | Е М ехр {—Inh +
+ / (2о, ? (яЛ))} %{x(h)=nh} =
Поэтому, переходя в правой части (3) к пределу, получим
Следствие. Пусть rji, г)2, ... —последовательные скачки процесса \(t), а хи т2, ... —промежутки между моментами, когда они произошли; тогда все эти случайные величины независимы в совокупности.
Действительно, поскольку %, г)3, ..., т2, т3, ... полностью определяются процессом то rib х\ от этих величин не за-
висят и, кроме того, независимы между собой.
Так как ?i(f) точно так же выражается через ц2, г|3, ..., т2, т3, ..., то г\2, %2 независимы и не зависят от т]3, ..., т3, Вводя последовательно процессы %п (t) =?n-i (t + Tn)—?n-i(T„), убеждаемся, что для всех п величины г)„ и тп независимы и не зависят от rin-1-i, тп+ь • • •
Пусть v(0 — число скачков процесса ?(s) на отрезке [0, t]. Так как
то процесс v(t) выражается через xh, k=\, ..., и, следовательно, не зависит от %, k — 1, ...
Поэтому
где г)т, ..., щ — последовательность независимых одинаково распределенных величин, a \(t)— не зависящий от них однородный процесс Пуассона. Процесс вида (4) называется обобщенным процессом Пуассона.
Изучим распределение некоторых характеристик для такого процесса в 3&. Пусть а — параметр пуассоновского процесса, а Ф(х) — функция распределения величин г^. Найдем функцию
Ме~лт|+< tev по ехр
v'(0
1(0=
(4)
336 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI
распределения максимума процесса на конечном отрезке. Обозначим
Q(t, х) = Р (sup?(s) < х].
S
Используя независимость величин Xu i'll и процесса ?i(0> можем записать при х > О
Q {t, х) = Р (Tj > t} -f Р { sup | (s) < x, xj < 0 =