Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 128

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 214 >> Следующая


Теорема 2. Если ?(/)— скачкообразный процесс с независимыми приращениями, то его приращение %(t)— ?(и) (и <Z t) имеет характеристическую функцию:

М ехр {/ (z, ? (0 — I («))} = ехр I ( ( (е1 (г> *> — 1) я* (dx) dh (s) I, (1)

( u 3im j

где e~K^ = P{ti > s} — распределение момента первого скачка, а л5(Л) —условное распределение первого скачка при условии, что он произошел в момент s.

Замечание. Из (1) вытекает, что характеристическая функция ?(/) — ?(0) имеет вид

ехр/ ^ (е‘ (z> *> — 1)П* (d*)|,

)

(2)

t

где П* (А) = ^ я5(Л) d\ (s) — конечная мера на §lm. Покажем, что

о

это условие и достаточно для того, чтобы процесс был скачкообразным. Действительно, если величина ? имеет безгранично делимое распределение с характеристической функцией

э-п (ят)

оо

ехр { П (Ят) J е' *) } = Z ^jf1- е"п (z))\

0

V

то ? имеет такое же распределение, как Ц где т]*, независимы

1

и имеют характеристическую функцию <p(z), a v имеет распределение Пуассона с параметром П(^?т). Значит,

Р {| ф 0} < Р {v Ф 0} < I - е~п (**).
334 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI

Поэтому, если l(t)—?(0) имеет характеристическую функцию (2), то

Р{| Ик)-1(1к-х)Ф 0}<

^ I _ ехр {- Пц тт) + (Жт)) < Uik (9Г) - (9Г).

Поэтому выполнено условие теоремы 1.

Рассмотрим теперь однородный скачкообразный процесс l(t) (см. гл. I, § 3). Очевидно, что в этом случае и процесс v(t) будет однородным. Поэтому функция K(t) имеет вид Kt, где К — некоторая постоянная. Далее, из (1) вытекает, что

М ехр {г (z, | (f + /г) — ? (t))} =

( t+h

= ехр| % ^ ^ (е«(г, *)_ j)ns(dx)ds

[ t Sim

= ехр|я ^ ^ (ei(Zi х) — l)ns+i(dx)ds

I 0 ят j

и последнее выражение не должно зависеть от t. Отсюда вытекает, что и п8(Л) от s не зависит. Таким образом, в этом случае величины |(ti)—1(0) и Ti независимы.

Теорем а 3. Если l(t) (|(0) = 0) — скачкообразный однородный процесс с независимыми приращениями, то процесс (t) = l(t + ti)—|(ti) также является однородным процессо-м с независимыми приращениями, не зависящим от и t]i = |(ti).

Доказательство. Пусть 0 < Si < ... < sh, z0, zx.............zh e

Тогда

Mrh'+i <z°-Tll) exp {i Z I (sj + tj) — | (tj))} =

= lim M exp {— + i (z, r\W) + i Z {z,, ? (s, + t<ft>) — | (t<ft>))},

tft>o (. 4 ' 1=\ )

(3)

где xw — nh, если |(//г) = 0 для 1—\,...,п—\,\(пЬ)ф§. Далее,

М ехр | — KxW + / (z0, пW) + i X (zf, | (Sj + T<ft>) — g (т<л>)) j =

oo

= 2 M exp

n-1

+ i Z (z}, ? (Sj + nh)-l {nh)) j =

( — hnh + i (z0, | {tih)) +
СКАЧКООБРАЗНЫЙ nPOUFXC

335

= М ехр | г 2 (zf> I («/)) | Е М ехр {—Inh +

+ / (2о, ? (яЛ))} %{x(h)=nh} =

Поэтому, переходя в правой части (3) к пределу, получим

Следствие. Пусть rji, г)2, ... —последовательные скачки процесса \(t), а хи т2, ... —промежутки между моментами, когда они произошли; тогда все эти случайные величины независимы в совокупности.

Действительно, поскольку %, г)3, ..., т2, т3, ... полностью определяются процессом то rib х\ от этих величин не за-

висят и, кроме того, независимы между собой.

Так как ?i(f) точно так же выражается через ц2, г|3, ..., т2, т3, ..., то г\2, %2 независимы и не зависят от т]3, ..., т3, Вводя последовательно процессы %п (t) =?n-i (t + Tn)—?n-i(T„), убеждаемся, что для всех п величины г)„ и тп независимы и не зависят от rin-1-i, тп+ь • • •

Пусть v(0 — число скачков процесса ?(s) на отрезке [0, t]. Так как

то процесс v(t) выражается через xh, k=\, ..., и, следовательно, не зависит от %, k — 1, ...

Поэтому

где г)т, ..., щ — последовательность независимых одинаково распределенных величин, a \(t)— не зависящий от них однородный процесс Пуассона. Процесс вида (4) называется обобщенным процессом Пуассона.

Изучим распределение некоторых характеристик для такого процесса в 3&. Пусть а — параметр пуассоновского процесса, а Ф(х) — функция распределения величин г^. Найдем функцию

Ме~лт|+< tev по ехр

v'(0

1(0=

(4)
336 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI

распределения максимума процесса на конечном отрезке. Обозначим

Q(t, х) = Р (sup?(s) < х].

S

Используя независимость величин Xu i'll и процесса ?i(0> можем записать при х > О

Q {t, х) = Р (Tj > t} -f Р { sup | (s) < x, xj < 0 =
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed