Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
0 = to < <tn — t, An = max(4+j — tk).
Ho
exp | — 11 P [v (tk) — v (tk-1) Ф 0] | >
^ П(1 — P {v (tk) — v (tk-i) Ф 0}) = k-i
= П P {v (tk) — V (tk-!) = 0} = P {v (t) = 0}.
330 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VT
То, что P{v(0 = 0}>0, вытекает из того, что v(s) равномерно стохастически непрерывна на [0, t] и, значит, при некотором
б >0
Р {v (sj) — v (s2) = 0} > 1 — е при | s, — s21 < б,
но
Р {V (0 = 0} = П Р {V (sk) - v (**_,) = 0}>(1 - в)",
k = ]
где О = 50<51 < ... <sn = t и sk — sk-x< 6. Значит,
Z P{v (tk) — V (tk-1) ф 0} < — In P {v (t) = 0} < OO.
k-\
Необходимость условия теоремы доказана.
Для доказательства достаточности введем величину Ti = = inf[s: ?(s) =#= g(0)], Tj — момент первого скачка (он может равняться +о°). В силу сепарабельности процесса он не имеет разрывов второго рода (см. гл. IV, § 4, теорема 3). Поэтому Р {т, > 0 = lim Р {I ft) = I (t0), I (t2) = I (to), ..., I (tn) = I (t0)},
kn-*°
0 —10 < ti < ... <tn = t, ln=max(tk+l — tk),
Р{т,>*} = lim f[(l-PUfo)-6fo-i)^0}).
%n->0
Из стохастической непрерывности процесса %(t) вытекает, что
max Р {|(fft+i) — ?(4) ?= 0}-> 0 при *,„->-0. Поэтому k
П (1 -Pft(fc+i)-?&)=* 0})~
~ехр{- t Р{Ш~Ш-1)Ф0}Х
I. fe-i
X (1 + о (max Р {I (tk) -1 &_,) ф 0})] -
~ехр{- Z Р{Ш-1(к-1)фЪ)}>а> 0.
Оценим теперь вероятность события: |(s) на [0, t] имеет г скачков. Обозначим вероятность этого события pr(t). Тогда (точно так, как при оценке Po(t)) имеем
§ 2] СКАЧКООБРАЗНЫЙ ПРОЦЕСС 331
Значит,
рг (0 = lim П Р (I (tk) -1 (tk-x) = 0} х
k = l
1< iy< ... <ir<n /~1 v 4 '' 4 1 w '
(мы воспользовались тем, что Р (tk) — |(4-i) = 0} -> 1 равномерно по k при А,„-*0),
lim П P{l(tk) — l(tk-i) = 0) = p0{t) = P{xl >t}> 0. k — 1
Далее,
I Пр№)-И'.гО^Ч=
l<Jj< ... < /=1
— P ^ ^ ~ Ф 0)^ "b
+ О (max P (I (ti) - I (*/_,) 0}) X
x(Zptt(W-6fe-i)^°}
Выше было доказано, что
Ро(0 — ехр | — lim ? Р {!(**) ~ S(**-i) Ф 0}}.
Ч k=\ )
Если обозначить
Л (/) = — In ро (if),
то и
оо оо
1.
г=0 г=0
Это и есть вероятность того, что процесс ?(s) имеет на отрезке [0, /] конечное число скачков. ¦
Следствие. Если ?(s)— скачкообразный процесс с независимыми приращениями, то v(t)—число скачков процесса ?(s) на [0, t] — является стохастически непрерывным пуассоновским
332
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
{ГЛ. VI
процессом с независимыми приращениями:
P(v(0“*}=nre4 (<).
где X(t)=sMv(t)— непрерывная функция.
Пусть ti — величина, введенная при доказательстве теоремы 1. Введем совместное распределение величин Т! и |(ti)— -1(0):
Ф (ds, А)—Р {т, <= ds, I (т,) - ? (0) е= А}.
Пусть, далее, n(s, А) — условное распределение величины |(т0 — —1(0) при условии, что Т]
J л (s, А) Р {т, е ds} = Р {tj е* [a, р], ? (т,) — ?(0)еЛ} =
“<S<9 = Р (I (и) = I (0), и < а, | (т“) - g (а) е А, т“ < Р}.
Здесь T“ = inf[s>a: g(s) — g(a) ф 0]. Поскольку P{t;<s} = = 1—ехр{—Ms)}, то последнее равенство можно переписать так:
^ п (s, А) е~1 (s) dX (s) = е~х <a)P {| (та) — | (а) е Л, та < р},
a<s<3
откуда
Р {? (т^0) “ I (а) ^ А, та < р} = ^ л (s, А) е(a)1 dX (s).
a<s<B
Последняя формула позволяет найти характеристическую функцию процесса с независимыми приращениями. Заметим, что при геЖ"
<*.*«»-* <а» = м%{г„>р}+
+ Мег <*• 6 <«-* <“% (W_V (а)_„ + О (Р {v (Р) - v (а) > 1}).
Но при условии v(P) — v(a)=l имеем |(Р) — ? (а) = ? (та) — g (а) и та < р. Поэтому
MY, „ ,4-Ме!(2,НвН(а))7 —
тХ{ха>р} -Г X(v (р)—v (а)=1)
-=1 + М[е‘(*-б('0)-б(“))*-1]х{ха<р} +
+ 0(P{v(P) — v(a)> 1})= 1 + ^ ^ (ei(z> х>—l)n(s, dx)X
a<s<0
X e-V* <s>~* <»>]<& (s) + О ([X (P) - X (a)]2) =
*= exp / ^ $ (el (z> x) 1) л (s, dx) dX (s) + О ([X (P) — A (a)]2)}.
l.a<s<3
§ 2] СКАЧКООБРАЗНЫЙ ПРОЦЕСС 333
Поэтому при ы = /0 < /, < ... <tn = t М ехр {г (z, | (/) — | (и))} =
1П
У \ \ (el (2> х) — 1) я (s, dx) dX (s) +
*-i tk_x<t<tk
i)
+ 0(Ё^
Переходя к пределу при max (4 — tk-1) —> 0, получаем следующее утверждение.
