Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя это выражение в (24), получаем (23). Замечание. Ряд
оо
?1Р«"“0> (25)
сходится.
Пусть —12 имеет решетчатое распределение с шагом h, тогда | ф (z) |2 = Me12 — функция периодическая с перио-
дом -j. Поэтому
Jt/ft
P{Zn = 0} = ± 5?"(z)d2<A j |ф(2)|»d2.
-л -л/ft
Используя следствие из леммы 1, убеждаемся, что существует такое а > 0, что | ф (z) |2^е~аг2 при \z\^.njh. Поэтому
л/ft
pfc-o><? J J г"'’* - с
Vn ’
Л/ft - оо
где С — некоторая постоянная. Из этой оценки и вытекает сходимость ряда (25).
Выше мы нашли лишь совместное распределение величин т0 и yo- Для нахождения совместного распределения хх и ух можно использовать следующее рекуррентное соотношение:
Р {т* = rn, Y* = &} = Р {то = яг, Yo = х + k) +
+ X Р{т0 = л, \Q = t}P {xx-t = m — п, yx-t = k}.
О <n<m
О <*<*
Умножая это соотношение на Km, eizk и суммируя по т и k от 1 до оо, получим
их{^> z) — Р {то — Yo — х -f- k} Kmeizk 4-
oo
+ ? ux-t (K Z) ? p {-r0 = n, Yo = t} Knt
0<t<x »=l
328 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI
Умножим теперь это равенство на р* (|р|< 1) и просуммируем по л; от 0 до оо (при х = 0 вторая сумма в правой части пропадает). Тогда получим
оо оо
? рхих (Я, z)= Е рх X Р {т0 = tn, Yo = * + k) xmelzk +
x=*Q x—0 тп, k — l
OO OO
+ E p\(^.2) Z Р{т0 = п, Yo = *HV. (26)
x=0
В силу формулы (15)
oo
? Я'УР {т0 = n, Yo — o =
= l_exp{-?-^ ? P{Sn = ?}p*j (27)
^ fl= 1 fe>l *
(поскольку эта формула верна при р —е‘г, она верна и при | р | < 1). Далее,
п, t — 1
оо ОО
Z Z Р tT°= m’ Yo = х + k) Xnelzk9x —
д~0 m, ft—1
OO
= ? r*P{T0 = m, Yo=0 ? e'V
m, <¦»!
У AmP {то = /и, Yo = 0 ,
eiZt — p* — iz
^ L n-l ft>l )
-ехр{-Е-т Z р{^=^}е,г4]
*• в-1 ft>l ' -I
(мы воспользовались формулой (27)). Таким образом, из (26) получаем после несложных преобразований следующую формулу:
z p*u* (А>z) ¦
х~о
(28)
скачкообразный процесс
329
§ 2. Скачкообразный процесс с независимыми приращениями. Обобщенный процесс Пуассона
Пусть |(^) (t ^ 0) — стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями со значениями в 91т. Такой процесс будем называть скачкообразным, если для каждого t существует конечное число точек 0 < si < ... < sn таких, что g(s) — постоянная величина на интервалах [0, Si), (sj, s2), ... ..., (sn,t). Будем считать, что процесс непрерывен справа, g(s) = |(s -f 0). Из стохастической непрерывности ?(s) вытекает, что вероятность того, что в точке 5 ?(s) имеет разрыв, равна 0 для всех s ^ 0.
Теорема 1. Для того чтобы сепарабельный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями был скачкообразным, необходимо и достаточно, чтобы для всякого t !> 0 ___________________ ft
lim Y, Р (К**) — l(4-i)?=0} < оо,
й-1
0 = ^о < ••• <tn = t, hn = max{tk+1 — tk).
Доказательство. Пусть процесс является скачкообразным. Обозначим через v(t) число скачков процесса l(t) на отрезке [0, f\. Очевидно, что v(t)— также стохастически непрерывный процесс (поскольку вероятность того, что t — точка разрыва v(^), равна 0 в силу совпадения точек разрывов g(i') и v(i')). Кроме того, v(t)— процесс с независимыми приращениями: v(t + h)— v(t)— число точек разрыва |(s) на [t, t -j- h] — не зависит от поведения g(s) (а значит, и v(s)) на [0, t], Заметим, далее, что
Р (I (tk) ~ I (tk-1) Ф 0} < Р {v (h) - v (**_,) Ф 0}
(если ?(М ?= ?(*ft-i), то на отрезке [tk-i,th] ?(s) имеет хотя бы один разрыв). Поэтому для доказательства необходимости условия теоремы достаточно показать, что для всех t >• 0
lim Е P{v (tk) — v (tk-1) Ф 0} < oo,
ft=l
