Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
так как с вероятностью 1 Предположим, что
*-i
Р (?i < 0} > 0 и пг < 0 таково, что рт > 0. Тогда для всех га имеем Р {^1 === Ш, . . •, %п == Ш, SUp (?„.).? ?п) ^ tint} ^
k^O
< Р {sup ?/ < 0} = Р {т0 = + ОО} = о.
i
Но левая часть этого соотношения равна
(pm)"P{supS*< —ram}.
k
Поэтому для всех га Р {sup t,k < га} = 0. Значит, выполнено (19). ¦
k
Используем теперь соотношение (14) для определения распределения величины
?+ = sup?„.
0
Очевидно, что
P{S+=/n} = P{Tm-! < ОО, Tm = + Оо} =
= Р Ьт-\ < °°} — Р {тт < оо}.
Поэтому
P{?+=w}=«m-l(l. 0) — «„(1, 0).
Пусть 0 < р < 1. Тогда
? P{?+ = m}pm= ? рт[и1п^(1, 0) — ит(1, 0)] + Р{?+ = 0} =
т—0 т= 1
оо оо
= 1 —Р{т0< оо}— 2 pm«m(l, 0) + р ? Р'ЧпО. 0) =
т=1 т=0
ОО
= 1 + (р-1) Z р'Ч.О. 0). (20)
т=0
Воспользуемся теперь формулой (14), учитывая, что для полу-
оо
чения 2 pmwm (1, 0) нужно в правую часть подставить z = 0,
т=0
а затем перейти к пределу при Л|1. Числа gx в силу определения при этом будут равны
оо
ёх — X 2 Pk + x•
4-1
§ и СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОЙ 325
Поэтому
оо f ОО оо \
(р - 1) 2 ртит (X, 0) = ехр | ? р {?„ = k) р1> J X
т—0 ^ п=*\ = l '
оо ОО / СО 00 \
X ^(рж-р‘) Yj с*г*-* = ехр| ?xZp^»~^p*
JC = 0 k= — со ^/1=1 J
[со , со со ”1
? ck&-k “Ь ?р ? ck(Sx-k-1 ёх-k) I ~
fee- oo JCsel —00
=«p{E-?Ip<c.=*>p‘}x
^ л—1 A«I '
Г ОО ОО Т
х — и0(Я, 0) + л?У 2 CkPx — ft I •
L JC = 1 6 = -oo j
Воспользовавшись замечанием к лемме 3 и формулой (11), можем записать
00 ОО СО 00
ЯЕР* Z CkPx-k = ~Ybx Р* = 1 -2Хр* =
д:= 1 & = —оо *=1 Л»»0
/ ОО 00 \
= 1-ехр -Ет!рь = *)р‘
^ Л=1 6=1 -»
(поскольку формула (11) верна при |р|=1, она верна и при
Ipl CD-
След овательно, учитывая (16), получим 00
(Р — 1) Y Ртит(К 0) =
т=» О
-“p{i^riP(s“=Wp‘}[expl_2vpfc>0)l-
*-л-1 6-1 ' L л-1 '
-«р{-ЁтЁрь = ^р*}]=
V л-1 6-1 ) J
f со ОО \
=ехР1Ет-Ер{г» = *}(р‘-1)[-1* <21>
^ Л —I 6-1 )
326 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI
Теорема 3. Если Р {sup t,n < 00} = 1, то распределение
П
величины ?+ = sup определяется соотношением
? p-p{?+ = m}==exp{?l?P^ = ^pfe-l)}.
m—0 ^ п=\ k= 1 )
(22)
Для доказательства достаточно перейти к пределу при X f 1 в (21) и воспользоваться формулой (20). Возможность перехода к пределу вытекает из теоремы 2. ¦
Замечание. Формула (22) справедлива и при | р | = 1, поскольку обе части этого равенства определены и непрерывны при | р | ^ 1.
Следствие. В условиях теоремы 3
Р {sup ?„ = 0} =
=ехр{-Ётр^>°}}[1-ехр{-Етр^=04]- (23)
Действительно,
Р {sup ?„ = 0} = У p_kР {?+ = k) =
*ч I * ¦
Я>1 А-0
\ v(z)Xpfe+==fe}e‘**rfz==
— Я
^ / оо оо \
= S ф(^)ехРI p&n = k}(eikz- 1) \dz =
-Л /1=1 ? = 1 '
f [4"I~1 ехр{Ё?Ёр}+
' т -я L кп= 1 А~1 '
+ {] rfzexp { - ? Р {$„ > 0}}. Воспользовавшись соотношениями (9) и (7), можем записать
§ 1] СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОЙ 327
Поскольку
ехр { ~ Z1Г Z Р ft» = } I ^ ехР { ~ Z "Т Р }.
I п-1 *<0 ) ]р — о (. п= 1 J
ТО
Я ( ОО ч
2гГ J ехР] “Z-T Z pft„ = ^}e«4rfz =
-л V п-1 *s?0 J
= exp|-Z~p^ = 0}|.