Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 125

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 214 >> Следующая


ОО

так как с вероятностью 1 Предположим, что

*-i

Р (?i < 0} > 0 и пг < 0 таково, что рт > 0. Тогда для всех га имеем Р {^1 === Ш, . . •, %п == Ш, SUp (?„.).? ?п) ^ tint} ^

k^O

< Р {sup ?/ < 0} = Р {т0 = + ОО} = о.

i

Но левая часть этого соотношения равна

(pm)"P{supS*< —ram}.

k

Поэтому для всех га Р {sup t,k < га} = 0. Значит, выполнено (19). ¦

k

Используем теперь соотношение (14) для определения распределения величины

?+ = sup?„.

0

Очевидно, что

P{S+=/n} = P{Tm-! < ОО, Tm = + Оо} =

= Р Ьт-\ < °°} — Р {тт < оо}.

Поэтому

P{?+=w}=«m-l(l. 0) — «„(1, 0).

Пусть 0 < р < 1. Тогда

? P{?+ = m}pm= ? рт[и1п^(1, 0) — ит(1, 0)] + Р{?+ = 0} =

т—0 т= 1

оо оо

= 1 —Р{т0< оо}— 2 pm«m(l, 0) + р ? Р'ЧпО. 0) =

т=1 т=0

ОО

= 1 + (р-1) Z р'Ч.О. 0). (20)

т=0

Воспользуемся теперь формулой (14), учитывая, что для полу-

оо

чения 2 pmwm (1, 0) нужно в правую часть подставить z = 0,

т=0

а затем перейти к пределу при Л|1. Числа gx в силу определения при этом будут равны

оо

ёх — X 2 Pk + x•

4-1
§ и СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОЙ 325

Поэтому

оо f ОО оо \

(р - 1) 2 ртит (X, 0) = ехр | ? р {?„ = k) р1> J X

т—0 ^ п=*\ = l '

оо ОО / СО 00 \

X ^(рж-р‘) Yj с*г*-* = ехр| ?xZp^»~^p*

JC = 0 k= — со ^/1=1 J

[со , со со ”1

? ck&-k “Ь ?р ? ck(Sx-k-1 ёх-k) I ~

fee- oo JCsel —00

=«p{E-?Ip<c.=*>p‘}x

^ л—1 A«I '

Г ОО ОО Т

х — и0(Я, 0) + л?У 2 CkPx — ft I •

L JC = 1 6 = -oo j

Воспользовавшись замечанием к лемме 3 и формулой (11), можем записать

00 ОО СО 00

ЯЕР* Z CkPx-k = ~Ybx Р* = 1 -2Хр* =

д:= 1 & = —оо *=1 Л»»0

/ ОО 00 \

= 1-ехр -Ет!рь = *)р‘

^ Л=1 6=1 -»

(поскольку формула (11) верна при |р|=1, она верна и при

Ipl CD-

След овательно, учитывая (16), получим 00

(Р — 1) Y Ртит(К 0) =

т=» О

-“p{i^riP(s“=Wp‘}[expl_2vpfc>0)l-

*-л-1 6-1 ' L л-1 '

-«р{-ЁтЁрь = ^р*}]=

V л-1 6-1 ) J

f со ОО \

=ехР1Ет-Ер{г» = *}(р‘-1)[-1* <21>

^ Л —I 6-1 )
326 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI

Теорема 3. Если Р {sup t,n < 00} = 1, то распределение

П

величины ?+ = sup определяется соотношением

? p-p{?+ = m}==exp{?l?P^ = ^pfe-l)}.

m—0 ^ п=\ k= 1 )

(22)

Для доказательства достаточно перейти к пределу при X f 1 в (21) и воспользоваться формулой (20). Возможность перехода к пределу вытекает из теоремы 2. ¦

Замечание. Формула (22) справедлива и при | р | = 1, поскольку обе части этого равенства определены и непрерывны при | р | ^ 1.

Следствие. В условиях теоремы 3

Р {sup ?„ = 0} =

=ехр{-Ётр^>°}}[1-ехр{-Етр^=04]- (23)

Действительно,

Р {sup ?„ = 0} = У p_kР {?+ = k) =

*ч I * ¦

Я>1 А-0

\ v(z)Xpfe+==fe}e‘**rfz==

— Я

^ / оо оо \

= S ф(^)ехРI p&n = k}(eikz- 1) \dz =

-Л /1=1 ? = 1 '

f [4"I~1 ехр{Ё?Ёр}+

' т -я L кп= 1 А~1 '

+ {] rfzexp { - ? Р {$„ > 0}}. Воспользовавшись соотношениями (9) и (7), можем записать
§ 1] СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОЙ 327

Поскольку

ехр { ~ Z1Г Z Р ft» = } I ^ ехР { ~ Z "Т Р }.

I п-1 *<0 ) ]р — о (. п= 1 J

ТО

Я ( ОО ч

2гГ J ехР] “Z-T Z pft„ = ^}e«4rfz =

-л V п-1 *s?0 J

= exp|-Z~p^ = 0}|.
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed