Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
a«.K«p{i^ i ^.=«}<«Р{Ё^Ьт=тхг
V/l=l &= — оо ' ' п = 1 '
Далее,
§ I] СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОЙ 321
Значит,
/ со оо ч
(1 -Я ? р,е“‘) ? с*'и = ехр j - ? ? Р ft, = *} *“• } . <9>
*¦ Л-1 k=\ )
Точно так же как и выше, можем установить, что выражение в правой части разлагается в ряд Фурье лишь по eikz при положительных k. Поэтому при k < О
Ck — ^HPick-i =0
(это коэффициент левой части при е1кг). 9
Замечание. Из соотношения (9) вытекает, что при fejX)
Ck — bllPiCk-i^bk, (10)
где bk определяются из соотношения
оо / оо оо \
2 b*eikZ ='ехР - Z 1Г Z Р tin = k} eik> . (11)
?=¦1 ^ П= 1 ?= 1 S
Вернемся к уравнению (6). Имеем
X CkU-x-k ~ 2 CkSx-k ~Ь ^ Pi Ш CkU-x—i-kI
k
или
2 ?k§x—k == Pl^k — t) U-x-k-
Из леммы 3 и замечания к ней вытекает, что
0 оо
2 Ck§x—k'===1 2 bkttx—k* (12)
k=,—oo k=°0
Заметим, что при д:<0 правая часть обращается в нуль,
значит, и левая также обращается в нуль. Пусть теперь х^О.
о
Тогда в X CkEx-k входят лишь g с неотрицательными ин-
&¦= —оо
дексами, которые нам известны. Умножая соотношение (12)
на р*, где 1 р | < 1, и суммируя по х, получим
ОО 0 со ¦ оо
Z 9х Z ckgx-k = X Рkbk Z РХ-
х^О &=¦ — оо к=0 х=0
Следовательно,
322 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. Vi
Заметим теперь, что функция
S оо оо \
“Р
l „«j k-i У
аналитична при |р|<1 и непрерывна при |р|^1. Так как при р = е,г
оо / оо ео Ч
fe=»0 ^ я=1 ft=* 1 '
ОО / ОО 00 \
?p*&ft = exp{ - ?? Р {?„ =/г} pft k (13)
6=0 ' n-I А-I '
TO
k
Таким образом,
00 ( oo oo \ oo oo
?pX = exp| {?„==&}P* |?p* Yu ckSx-k• (И)
X=0 ^ = I k = l * X**Q k=*—oo
Из этой формулы определим иа. Для этого нужно положить р=0:
оо
щ — Е ck&-k- Для того чт°бы найти иа(Х, г), нужно вместо
k а —ОО
g_. подставить Kg_k (г):
u0(l,z) = X Е ck Е Pi-kellz-
&= — ОО /м1
Введем операцию [ ] + , ставящую каждому тригонометрическому
ряду Е«^йгв соответствие тригонометрический ряд р =
= Е а*е‘*г. Тогда ft>0
«о (Я,, г) = Я,[" Е с* Е Р;-^/г1 = Л("Ее'А%фОг)1 ==
оо / = — оо J_l_ L ft J+
= — [Е ckelkz( 1 — A<p(z))J , поскольку =0- Используя соотношение (9) и равенство
случайные блуждания на прямой
323
находим
и0 (X, z) = 1 — ехр | — ? ? Р {g„ = k) eikz j. (15)
n= 1 A>1 '
Полагая в (15) 2 = 0, найдем производящую функцию т0:
МГ» = 1 - ехр j - ? Р {?„ > 0}}. (16)
^ п-1 '
Теорема 2. Для того чтобы блуждание было ограничено сверху, т. е. чтобы
P{sup?„ < + оо} = 1, (17)
П
необходимо и достаточно, чтобы
?1р{?„>0}< сх>. (18)
/i=i
Доказательство. Из (16) вытекает, что Р {т0 = + оо) = 1 — lim MATl =
=isexp{-z?p^>o}}=exp{-i:ip^>o}}
1 ' п= 1 ' ^ п=-1 ^
(считаем е“°° = 0). Значит, если выполнено условие (17), то Р {sup ?„ < + оо) > Р (т0 = + оо} > 0.
П
Но в силу закона 0 или 1 Колмогорова (см. гл. II, § 4, теорема 7) Р {sup ?„ < + оо} может принимать лишь значения 0
П
или 1. Поэтому в этом случае выполнено (17).
Пусть Р{т0 = + оо} = 0. Это эквивалентно соотношению
1
Л=1
Если P{?i^0} = l, то
P{sup?„ = +оо} = 1, (19)
324 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ {ГЛ. VI
