Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Необходимость. Будем доказывать от противного. Предположим, что блуждание возвратно, но
Я
5 ^Т=Шаг<°°- (2)
Пусть х=Ф0. Рассмотрим при 0<А.< 1 выражение
Е ГР {?* = 0, v* > п} =
rt=Q
= Е гр =о} - Е гр = о, < «} =
п=0 о
OO о<} tl
- Е гр {?» = о} - Е г Е р {v, - k) р = -*} =
п=0 п=* 0 ?=1
ОО оо оо
= Е ГР {?„=0} - Е ГР {vx = fe}E ГР {?„ = -4.
п=0 &= 1 tt*»l
318 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI
В силу леммы 2 последнее выражение имеет вид
оо
Z гр =о} (1 - NUvmv-*) =
п = 0
= Z гр {?„=о} (2 — мя^ - mv~x - (i - мя^) (1 - imv~*)).
Поскольку Мл'** < 1, Мя',-л < 1, то
Z ГР {?„ = О, v* > п) < Z ГР {?„ = 0} (2 - мл"* - Ж4-*) =
л=0 л=0
= Z Г [2P {?„ = 0} - P {?„ - х) - P {?„ = - х}\
л=0
(мы снова использовали лемму 2). Поэтому
ОО 00 л
? г Р{?„ = 0, V* > rt) < JV-L J (2 - е-гг" - е‘«) ф» (г) rfz =
л=0 /г=»0 ~я
я
= 1 5 (1-C0S2X) dz. (3)
“Я
Из следствия леммы 1 вытекает, что функция
1 — COS ZX
1 — Ф (2)
ограничена. Кроме того, функция ^ограничена при
и zg[-я, л], поскольку | ф(г) 1, а функция у_?и
ограничена, если Xg[0, 1], а и меняется в единичном круге комплексной плоскости, так как она непрерывна, если ее положить равной 1 при Я — 1, и = 1. Поэтому в (3) можно перейти к пределу при A, f 1:
00
?Р{?п = 0, ^>п}<
п = 0
я я
\ (1 — coszx)-;—^ (1 — coszx) Re —Ц-г- dz. я J ' ' 1 — ф (z) я J v ’ 1 — <р (z)
-Л -я
Из (2) вытекает, что
? Ц СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОЙ 319
в силу теоремы Римана — Лебега. Далее, поскольку v*—»-оо при х —> оо, то
lim Р {'Сп = О, v* > п] = Р {S„ = 0}.
Значит, для всякого т
w Я
ТП ' ’' А
lim ?P{S» = 0, *,>*}= ?Р{:„ = 0}<1 \
*-*°°п=0 п=3 -л
Поэтому и
Ep&=o)<iSReT^br‘i2<~
п=а -л
(в предположении (2)), что противоречит возвратности блуждания. И
Пусть х^О. Обозначим через хх момент первого попадания в множество (я, оо):
т* = inf [n: 1п>х\
(если ?п^;Х для всех *, полагаем тх = + оо). Если хх конечно, положим ух — ST—х. Будем искать совместное распределение величин хх и ya.. Пусть |Я|< 1, ге|—я, я]. Положим
оо
их(к, z) = bAetyxzXXxX{xx<oo}= Z etkzXmP {xx = m, ух = k}.
1 k—\t m=a 1
Пусть pi — P {^ = /}. При m > 1 имеем
P {тл = /72, yx ^ k} ^ P {?i X, . . . , Sm—1 Sm ^
— H P{Sl<*, •••, Sm-I5^*, ?.'П=^ + Л:, ii = 0 =
l<x
= P/Р {?2 Sl ^5 • • • J Sm —1 Si x Л Sm Si ==
Z<Jt
= /e + x — /}= Z р;Р{т*_, = т—1, Y*-/ = &}-
K.x
Кроме того,
P {Тж = 1, Ух = k} = P {Si = k + *} = pk + x.
Таким образом,
320
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
[ГЛ. VI
где
оо
gx(z)= Е eikzPk+x-
*-1
Покажем, как можно решить систему уравнений
Ux = ^ Е Plux-h (5)
где их и gx определены для х^О и ограничены. Положим их — 0, gx = — h Е Piux-i Для х <0. Тогда (5) запишется в виде
«* = ?* +^Epz«*-b — оо<*<оо. (6)
Нам потребуется следующее вспомогательное предложение. Лемма 3. Пусть числа ck определены из равенства
оо / оо 0
? = ехР | Z -г ? Р е<'*г } • (7)
— оо ^/1=1 = — ОО '
Тогда ск = 0 при k > 0, ?lcfcl^7~[T[ и
С4 = аЕрА-(, k <0. (8)
i
Доказательство. Поскольку степенной ряд относительно e!Z в правой части (7) под знаком ехр{-} сходится абсолютно, если вместо eiz подставить и при |ы|^1, то левую часть (7) можно получить, разлагая ехр{-} в степенной ряд и собирая коэффициенты при одинаковых гармониках. Отсюда видно, *ito коэффициенты при eikz для k > 0 будут равны 0 и что
