Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Вспоминая, что (iu+'v)-1 является частотной характеристикой физически осуществимого фильтра с импульсной переходной
312 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
функцией е~У{, получаем
= + \ e-v<‘-«>6(s)dsj. (24)
ч — оо '
При q < О формула (24) неверна. Формально это связано с тем, что функция \р(г) в этом случае не ограничена в левой полуплоскости. Функция ifi(z) при q < 0 может быть определена из следующих соображений. Пусть if>i (z) = — (z2 — р2) -j*’
+ с3с(г)(г2 — у2)- Тогда c(z) должна быть аналитической в левой полуплоскости, кроме точки z=—y> и —a)=,ti(—Р) =0-
Так как
/ ч _ Ч>1 (z) + C\ezq (г2 — р2)
с Сз (z2 - V2)
и c(z) аналитична в правой полуплоскости, то i|)i(z)—целая функция и
¦tyi (y) — — Cie'14 (y2 — P2). (25)
Положим
*ф| (z) = А (г) (z + а) (2 + Р).
Функция A(z) должна быть целой. Из условия а) теоремы 3 следует, что A (z) = const = А. Значение А определяется из уравнения (25):
A — Ciew ~Y+ Р...
' а + у
Отсюда
/. ч ^ ?i (а + у) (и2 + р2) eiuq - еУч (- у + Р) (ш + а) (ш + р)
' ’ С3 (а + у) (и2 + у2) • \ )
Для прогноза и фильтрации стационарных последовательностей применимы методы, аналогичные тем, которые были изложены для процессов с непрерывным временем. Ограничимся одним примером.
Пример 4. Рассмотрим стационарную последовательность 1(0> удовлетворяющую простейшему уравнению авторегрессии
OoSW + aiS (*-!)+ ... +ap?(f-p) = 4(f), (27)
где Т](^)—стандартная некоррелированная последовательность и l(t) подчинено r](i). Пусть
я
г\(t)= J eltad^(u)
—п
— спектральное представление последовательности г]{t), ?(и)—¦ процесс с некоррелированными приращениями и структурной
§ 61 ПРОГНОЗ И ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 313:
функцией I {А П В), где I—мера Лебега. Спектральное представление последовательности \(t) должно иметь вид
Я Я
l(t) = ^ eitu<p(и) dl(и), где ^ | ф(и) |2 du < оо. (28)
-Л —Я
Подставляя (28) в (27), получим
Я _____ Я
^ eituP (еш) ф (и) dt, (и) = ^ eitu dt, (и),
— Я -Я
П
где P(z)= Z Отсюда следует, что
Ф (и) — (mod Г).
Р (е'ш)
Предположим, что функция P(z) не имеет нулей в замкнутом круге |z|s^l. Тогда, если
ТО
?(0=2 М (* — л).
л=0
и мы получили представление последовательности l(t) в виде реакции физически осуществимого фильтра на некоррелированную последовательность r\{t). Так как
?(0 —— ~ — 1) + ••• + apl(t ~ Р) + Л (01. (29)
то оптимальный прогноз ?(/) по данным l(t — п) (п — 1, 2, ...)
имеет вид
? (0 — [«х? (t — 1) + я2? (*— 2) + ... + ар1 (t — р)].
Минимальная средняя квадратическая погрешность прогноза
равна
6(А = /МЖГ=^-
010 \М К|2 J I <30 I
Повторное использование формулы (29) позволяет получить оптимальный прогноз на несколько шагов вперед.
ГЛАВА VI
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
Процессы с независимыми приращениями уже рассматривались в § 4 гл. I.
В настоящей главе будут исследованы свойства выборочных функций таких процессов, а также рассмотрены различные функционалы от процессов с независимыми приращениями. Начнем с простейшего примера — однородного процесса с дискретным временем — случайного блуждания.
§ 1. Случайные блуждания на прямой
Пусть |ь |г, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Под случайным блужданием понимают последовательность сумм
So = 0, ?n = ?i+ ... +?п (п— 1, 2, ...).
При этом Sn называют положением блуждающей частицы в момент п, In — п-м шагом блуждания. Иногда рассматривают блуждание, начинающееся в точке х, тогда So = х, Sn = х + -Н Ii + ... + Мы в этом параграфе будем рассматривать лишь блуждания, начинающиеся в точке 0. Будет также предполагаться, что величины целочисленны. Тогда и блуждание называется целочисленным.
Максимальное целое число h, при котором величина
также целочисленна, называется шагом решетки блуждания. Если h =. 1, то блуждание называется нерешетчатым. Очевидно, что h совпадает с наибольшим общим делителем тех k, для которых Р {|i = k} > 0.
Обозначим через tp(z) характеристическую функцию величин Ik-
