Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
с(2)==Л1М p{z) ,
где M(z)—аналитическая функция в плоскости z, не имеющая особенностей при конечных г, Так как с (г) имеет не выше чем степенной порядок роста, М (г) является многочленом. Ввиду интегрируемости квадрата модуля функции
^ а,л р М — м (iu)
0 'lu> Q (iu) ~ Q (iu)
степень mi многочлена M(iu) не выше п—1, mi ^ п—1.
С другой стороны, указанный выбор функции c(z) обеспечивает выполнение условий а) и б) теоремы 3. Остается подобрать многочлен М(г) так, чтобы функция
.,,.л [ezqP (z) - М (г)] Р, (г)
’И2)--------оЩ--------
или, что то же самое, функция
е**Р (г) - М (г)
Q (г)
не имела полюсов в левой полуплоскости. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
&М ( 2) dzl
d> (e*4P (г)) dzi
(22)
1 — 0, 1, ..— 1, k = \, г.
Задача построения многочлена M(z), удовлетворяющего условиям (22), является обычной задачей теории интерполяции и всегда имеет единственное решение в классе многочленов степени ti—1. Найдя многочлен M(z), мы тем самым найдем частотную характеристику оптимального прогнозирующего фильтра
ч М (iu)
310 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
Можно предложить еще следующую методику определения функции с (г). Разложим функции P(z)Q~l(z) и M(z)Q-1(z) на элементарные дроби. Пусть
Г Рь г
Р (г) _ yi ул ckj М (г) _ у у Ук1
tlfciz-Sb)1' Q (z)
Для того чтобы функция (z) не имела полюсов в точках гк, k = 1, ..., г, необходимо и достаточно, чтобы
dl
dzJ-(z-zk)hb(z)
— 0, j — 0, 1.................Р* — 1 >
z=4
причем
г 6 4
^(г)==Е ?
А=1 /= 1
~ Vft/ (z — Zft)/
Простой подсчет показывает, что
[2 1
с*/ + -ff с*/+, + -|j- Cft/+2 + . . . + jT C*0A J
Зная коэффициенты Yft/, мы можем написать выражение для с(ш):
у у Y*/
с т = ¦ \ \ 5l _ А ?<*-*»>'
II
У у к>
h Н (z ~
Пример 3. Предположим, что наблюдается процесс ?(s)' но результаты измерений величины ?(s) искажаются различными помехами, так что наблюденные значения дают некоторую функцию g(s), s ^ t, отличную от ?(s). Примем, что величина помехи (или, как говорят, шум) т] (?) = ?(?)— t,(t) является стационарным процессом со средним значением 0. Желательно по результатам наблюдений процесса ?(s) = ?(s)+’ + rj(s), s ^ t, оценить значение t,(t -f- q).
Такие задачи называются задачами фильтрации или сгла-.живания (говорят, что от процесса %(i) нужно отфильтровать шум rj(f) или что процесс %(t) нужно «сгладить», т. е. вычесть из него нерегулярный шум). При этом для q ~> 0 мы имеем за-,дачу фильтрации с прогнозом, а при q < 0 — задачу фильтрации с запаздыванием.
§ 6] ПРОГНОЗ И ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 311
Предположим, что шум г)(^) и процесс ?(^) не коррелиро* ваны и имеют спектральные плотности fn (и) и /чч(ы). Тогда
Ru (0 = Rw (t) + Ru (t), hi (и) = fm {U) + hi (и).
Так как Rti{t) = Ri&(t), то существует взаимная спектральная, плотность процессов ?,{t), ?(<) и fu (u) — hl(u)-
Пусть fee(“) = U2%a2 > frni(0= U2^ ^• Тогда
f.. лл - сз (“2 + V2) Ci i c 2__ +
m W — („2 _|_ a2) („2 _|_ p2) > C3 Cl+C2, Y c, +C2 •
Для функции -vj; (гг) мы получаем выражение
I / Ч _ — схегЧ (г2 — ft2) + със (г) (г2 — у2)
— (г2 _ а2) (22 _ р2)
Пусть ^>0. Функция ф(.г) должна быть аналитической в левой полуплоскости и принадлежать Для этого нужно,
чтобы числитель обращался в нуль в точках г — — а и г =* = — р. Это приводит к равенствам
C(-P) = 0, c(-a) = |-e~a^~p2). (23)
Кроме того, c(z) должна быть аналитической в левой полуплоскости (и по условию б)—в правой), за исключением точки z =—y> гДе она может иметь простой полюс. Таким образом,
с(г)=-<р(2)-CKZ) 2 + y ’
где <p(z)—целая функция. Из условия конечности интеграла
следует, что cp(z)—линейная функция, cp(z) = Az-\-B.
Из (23) получаем
c(z) = A^-, A = iLl±?Le-a,.
v ’ 2 + Y с3 Y + a
Поэтому формула оптимального сглаживания с прогнозом имеет вид
