Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
а) функция fn (и) ограничена;
б) с (iu) является граничным значением функции с(г)е^^;
в) ty(iu) = eiaqfn (и) — с (iu) }ц (и) является граничным значением функции г|з(г) из .
Здесь (3^2) обозначает пространство функций h(z), аналитических в правой (левой) полуплоскости, для которых интеграл
00
^ | h(x iu) |2 du
— 00
равномерно ограничен при х > 0 (х ¦< 0).
оо
Действительно, из б) следует, что ^ | с (iu) |2 du < 00, а это
— оо
вместе с а) обеспечивает выполнение условия (19). Кроме того, из б) следует, что c(iu) есть частотная характеристика физически осуществимого фильтра. Из условия в) следует, что ?iaqfll (и) — с (iu) fll (и) является преобразованием Фурье функции, равной нулю при положительных значениях аргумента.
Заметим, что, ограничив себя условием б), мы отбрасываем фильтры, частотные характеристики которых на бесконечности могут возрастать. Такие частотные характеристики соответ-
§ 6] ПРОГНОЗ И ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 307
ствуют операциям, связанным с дифференцированием процесса %(t), и часто встречаются при построении оптимальных фильтров. Поэтому условие б) желательно заменить менее ограничительным. Предположим, что с(г)—функция, аналитическая в правой полуплоскости, и |c(z)|—*• оо при | гг j —> оо не быстрее, чем некоторая степень г (например, г-я). Функция
Cn(z) = — ^-+,- ?Е^2+.
(1 + т)
Так как | cn(z) |<;| с (г) |, то
оо
lim \ | cn(iu) — с (iu) |2 fn (и) du — 0,
П -> оо J
— оо
если условие (19) выполнено. Таким образом, с(ш) является пределом в частотных характеристик допустимых фи-
зически осуществимых фильтров, а поэтому с(ш) — также частотная характеристика такого фильтра. Мы получили следующий результат.
Теорема 3. Если спектральная плотность }ц(и) процесса %(t) ограничена, то условия:
б) c(iu) является граничным значением функции с (г), аналитической в правой полуплоскости и возрастающей при |zj —* оо не быстрее некоторой степени \г\,
в) г|з (iu) = eiuqfn (и) — с (iu) fn (и) является граничным значением функции -ф (гг) из ,
однозначно определяют частотную характеристику c(iu) оптимального фильтра, оценивающего величину t,(t + q).
Средняя квадратическая погрешность б оптимальной оценки равна
? = {М| l(t+q) i2 — М 11 (0 |2}'/2 =
? оо Ч 1/2
== |°i ~ S ic № ? ^du j • (2l)
Пр и мер 1. Рассмотрим задачу чистого прогноза процесса ?(*) (?(0=?(0) с корреляционной функцией R (t) = ст2е-°ч * I (а > 0). Спектральная плотность легко находится: /ц(ы) =
а ~ —2 -|_ . Аналитическое продолжение функции ip(iu) имеет
308
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
ВИД
Функция ф(2) имеет единственный полюс в левой полуплоскости z — — а. Для того чтобы его нейтрализовать с помощью функции с(г), аналитической в правой полуплоскости, достаточно положить с(г)= const = e~a'i. При этом условие а) теоремы 3 выполняется. Итак,
т. е. наилучшей формулой оптимального прогноза величины + является следующая формула:
зависящая только от значения ?(t) в последний наблюденный момент времени. Средняя квадратическая ошибка экстраполирования равна
Пример 2. Снова рассматривается задача чистого прогноза процесса ?(0> т. е. оценки + по наблюденным величинам |(s), s < t. Если спектр процесса ?(/) абсолютно непрерывен и выполнено условие (24) § 5, то спектральная плотность процесса допускает факторизацию: fu(u) = \ h{iu) \2, где h(z)^?@2 и не имеет нулей в правой полуплоскости.
Рассмотрим тот важный для практики случай, когда h(z\ является дробно-рациональной функцией:
где P(z)—многочлен степени т, Q(z)—многочлен степени п (т<п). Допустим еще, что спектральная плотность fn(u) ограничена и не обращается в нуль. Тогда нули многочленов P(z) и Q(z) лежат в левой полуплоскости. Пусть
c(iu) = e~aq, | (t)~ \ eiuie~aqv (du),
*— оо
6 = а л/1 — e~2aq.
р
Г
Я (2)= А 11(2-2//,
1=1
Р
? == tn,
Положим
Л(2) = (-1ГЛй(2 + 2,)вЛ
/ = 1
Q,(z) —(—1)',В'П(г +2,)е/
/=1
Г
§ 6] ПРОГНОЗ И ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 30<>-
Аналитическое продолжение функции -ф (гы) имеет вид Ц^z) = (ez4-c(z))PQft^?l.
Функция с(г) должна быть аналитической в правой полуплоскости, а ^(г)—в левой. Поэтому c(z) должна быть аналитической во всей плоскости комплексной переменной и может иметь полюсы в нулях многочлена Р(г), причем порядок полюса не должен превосходить порядка соответствующего нуля P{z). Поэтому
