Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
62= Г('§„ и С)
Г (^Ь ё2! • * • ¦
Б) Рассмотрим задачу об оценке случайной величины Z, по результатам наблюдения с. к. непрерывного случайного процесса \(t) на конечном промежутке времени Т — [а, Ь\. Пусть R(t, s)—корреляционная функция процесса l(t). В силу теоремы 5 § 1 процесс %(t) может быть разложен в ряд
со
I (0 = Е Уkk4>k (0 h> k=i
где фй(0—ортонормированная последовательность собственных функций, — собственные значения корреляционной функции на (а, Ь):
ь
hk4>k (0 = $ # У, s) щ (s) ds,
а
— нормированная некоррелированная последовательность,
MgfcIr = 6Ar.
Очевидно, что {|й}, k = I, 2, ..., образуют базис в ^2{1(0.* t е (а, Ь)}. Поэтому
со
п=1
где
ь
= $ ?(0ф«(0Л> п= 1,2,...,
а
Ь
сп = Щ%п = $ Rn (0 ф (0 dt, (0 = Мй (0.
а
Средняя квадратическая погрешность б оценки может быть найдена по формуле
со Ъ
б2==МШ2-М|||2==МШ2-? $Яа(0Ф„(0Л
п=0 а
Практическое применение этого метода затруднено сложностью вычисления собственных функций и собственных значений ядра я (t, s).
302
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ТГЛ. V
В) Метод Винера. Пусть l(t) и ?(/), t^T, — две гильбертовы случайные функции. Допустим, что процесс ?(/) наблюдается на некотором множестве Т* значений аргумента t. Ставится задача об определении оптимальной оценки значения ?(/о), по наблюденным значениям ?(/), Если
предположить, что искомая оценка имеет вид
?(^о) = ^ c(s)l(s)m(ds), (5)
т*
где пг — некоторая мера на Т* и выполнены условия, при кото-рых этот интеграл имеет смысл, то уравнение (4) принимает вид
^ с (s) Яц (s, t) m (ds) = Rn (t0, t), t e Г, (6)
T*
где Rn — корреляционная функция l(t), a R&—взаимная корреляционная функция ?(/) и l(t). Уравнение (6) является интегральным уравнением Фредгольма первого рода с симметричным (эрмитовым) ядром. Далеко не всегда оно имеет решение. Однако если
M\l(t)\2m(di) < оо,
г
то интегральное уравнение (6) имеет решение c(s)^S>2{tn} тогда и только тогда, когда оптимальная линейная оценка t,(tо) величины ?(0 имеет вид (5).
Пусть Т — ось действительных чисел, Т*=(а, Ь), процессы
l-(t) и ?(/) стационарны и стационарно связаны (в широком
смысле), а в качестве меры пг взята лебегова мера. Тогда уравнение (6) принимает вид
ь
^ с (s) Rn (s — i)ds = Rn (t0 — t), t e (a, b). (7)
a
Если ?(0=1(0 (—00 < t < oo) и to > b, т. e. если задача состоит в оценке величины |(М п0 значениям ?(/) в прошлом, то задачу будем называть задачей чистого прогноза.
Остановимся подробнее на задаче прогноза величины Z,(t -f- <?) по результатам наблюдения процесса g(s) Д° момента времени t, t ^ s. При этом будем предполагать, что процессы
%(t) и ?(t) стационарны и стационарно связаны (в широком
смысле). Прогнозирующую величину l,(t) будем рассматривать как функцию от t при фиксированном q.
§ 6] ПРОГНОЗ И ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 303
Положим
t
l(t)= J Ct{s)l(s)ds.
— oo
Легко заметить, что процесс ? (/) является стационарным. Действительно, уравнение (7) в рассматриваемом случае имеет вид t
^ Ct(s)Riz(s — u)ds = Rii(t+q — u), u^t.
— оо
Замена переменных t — и = v, t — s = 0 преобразует последнее уравнение в следующее:
оо
\jCi{t — Q)Rii{v — Q)dQ = RZi{q + v), и >0. (8)
о
Отсюда мы видим, что функция ct(i — 0) не зависит от t. Положим с(0) = сг(/ — 0). Уравнение (8) запишется теперь так:
оо
\c{s)Rn{t — s)ds = Rii{q + t), 0, (9)
о
а формула (5) для прогнозирующей функции имеет вид
t оо
?(0— ^ с(/ — s)l(s)ds= jj c(s)l(t — s)ds. (10)
— oo 0
Таким образом, процесс t,(i) — lq(i) стационарен. Из формулы (10) следует, что c(t) является импульсной переходной функцией физически осуществимого фильтра, преобразующего наблюдаемый процесс в оптимальную оценку величины t,(i-{- q).
Легко указать выражение для средней квадратической погрешности б прогнозирующей функции ?(/). Так как б2 есть квадрат длины перпендикуляра, опущенного из конца вектора ?(/ + q) на &2{Z,{s), s sC /}, то
