Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем предполагается, что и ? и /(?а|аеЛ) обладают моментами второго порядка.
Положим
Y = M(g|g). (3)
Тогда
62 = M{?-?}2 = M(?-y)2 + 2M(S-Y)(Y-b + M(Y-b2.
Так как величина у — ? g-измерима, то
М (? — y) (y — ?) =
= ММ {(? — y) (Y — t) I §} = М (Y — ?) M {(? — Y) I $} = 0. Таким образом,
62 = M (? — y)2 + м (y — I)2,
откуда следует
Теорема 1. Приближение случайной величины ?, имеющей конечный момент второго порядка, с минимальной средней
ПРОГНОЗ И ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
299
квадратической погрешностью при помощи g = ст{|а, а еУ1}-измеримой случайной величины ? единственно (mod Р) и дается формулой
? = M{?|g}.
Замечание. Оценка ? = у случайной величины ? является несмещенной, т. е.
My = мм {s |g} = Ms,
и величины ?— у и при любом а е Л не коррелированы:
м (? - Y)S« = ММ {(? - Y)§«I3} = Щам {(? — у) IS} =0.
К сожалению, практическое применение теоремы 1 для получения эффективных формул приближения бывает весьма трудным. В случае гауссовских случайных величин, однако, можно пойти дальше. Заметим, прежде всего, что более простой постановкой задачи, приводящей в ряде случаев к законченным и аналитически доступным решениям, является задача отыскания оптимального приближения не в классе всех измеримых функций от заданных случайных величин, а в более узком классе линейных функций. Более точно это означает следующее. Пусть {Q, @, Р} — основное вероятностное пространство. Предположим, что величины и ? имеют конечные моменты второго порядка. Введем подпространство 2’o{sa> а е Л} гильбертова пространства 2>2{И, ©, Р}, являющееся замкнутой линейной оболочкой величин и е Л, и константы. Можно рассматривать подпространство 2>2{1а> сс е Л} как множество всех линейных (неоднородных) функций от с конечными дисперсиями. Наилучшим линейным приближением ? к случайной величине ? является тот элемент S’2{|а> аЕЛ}, который находится от ? на кратчайшем расстоянии, т. е.
б2 = М! ? - ? I2 < М | ?' - ? |2 для любого ?'е аеЛ}. Из теории гильбертовых про-
странств известно, что задача отыскания элемента ? из подпространства Я0, который находится на кратчайшем расстоянии от заданного элемента ?, всегда имеет единственное решение. А именно, ? является проекцией ? на Н0. Элемент ? может быть определен, и притом единственным образом, из системы уравнений (? —?, ?") = 0 для любого ?" е S>2{la, сс е Л}. В нашем случае эта система уравнений сводится к уравнениям
M(?la) = M(?l„), (4)
и поскольку в S’2{la, аеЛ} включена единица, то
М? = М?,
300
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
так что оптимальные линейные оценки ? обязательно не смещены. Можно считать, что М|а = 0 для любого а. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением подпространства случайных величин из i?2{?2, ©, Р} с математическим ожиданием 0.
Разумеется, не всегда есть основания считать, что линейная оценка величины ? является приемлемой. Например, если \{п) = е»'<у"+Ф), где v равномерно распределена на (—л, л), то М (|(п)6(т)} = 0 (п Ф т) и наилучшая линейная оценка величины Цт) по значениям всех |(я) (пфт) имеет вид|(/п)=0, т. е. не использует значений величин |(п). С другой стороны, достаточно произвольной пары наблюдений |(й) и %(k + 1), чтобы определить всю последовательность |(п) точно, а именно
Допустим теперь, что все конечномерные распределения системы {?, 1а, а еЛ} нормальны и М?а = 0, М? = 0. В этом случае из некоррелированности величин ? — ? и ?а следует, что они независимы. Поэтому ? — ? не зависит от ст-алгебры Ъ и
МШ} = М{?-? + ?!3} = М (?_?) + ? = ?.
Теорема 2. Для системы гауссовых случайных величин {?, ga, а ё А} наилучшая (в смысле среднего квадратического отклонения) оценка величины ? с помощью ст{|а, а ^ А}-изме-римой функции совпадает с наиличшей линейной оценкой в 3?2{%a,at=A).
В дальнейшем рассматривается ряд частных задач на построение оптимальных линейных оценок.
А) Число случайных величин Sa конечно (а= 1, 2, ..., п). Задача имеет простое решение, хорошо известное из линейной алгебры. Предполагая, что 1а линейно независимы, можно представить проекцию ? величины ? на конечномерное пространство Но, натянутое на величины (а= 1, ..., п), с помощью формулы
(Si, Si) . • (Sn, Si) Si
(In, Si) • ¦ (Sn, Sn) Sn
(S. Si) •• • (S, S*) 0
где Г = Г(|ь 62........In)—определитель Грама системы век*
торов |ь 62, • • • > In-
(Si. SO • • • (Si, S„)
§ 6] ПРОГНОЗ И ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 301
и (I, г)) = М(gfj). Средняя квадратическая погрешность б приближенного равенства t, ~ ? равна длине перпендикуляра, опущенного из конца вектора | на пространство Я0, и дается формулой
