Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Допустим теперь обратное. Пусть f(u) неотрицательна, инте-грируема и удовлетворяет соотношению (21). Определим /(0) с помощью (20). Тогда J(Q) интегрируема и
Я
^ In f (0) dQ > — оо.
— Я
Из теоремы 1 следует, что f(Q) допускает факторизацию
оо со
1 (6) = ig(eie)l2, g(2) = Zfl/, El а„|2<оо.
0 = 0
Положим
А(®)“тЬЁа« (тТ^Г-
п^О
Тогда функция ft(со) аналитична в правой части полуплоскости и f(u) — | А(ш) |2,
оо
h (iu) = У* ап —^ ~—Ш}+г • (22)
Учитывая, что функции *у==" е‘п8 образуют полную ортонор»
мированную последовательность в i?2(—я, я), нетрудно уви-
1 (1 — 1и)п
деть, что последовательность —==• —1--------------—г является полной
л/2я (1 + iu)n+l
ортонормированной последовательностью на 3?2(—°°, °°) относительно лебеговой меры. Поэтому ранее написанный ряд для h(iu) сходится в среднем квадратическом. Заметим теперь,, что
(1 -щ)" _ у Ak tr-1 *
П+1
(1 + iu)nW ~~ 2 0+Ти)к
n+1 г г
= Ё S е-{1+тЧ{к-1) dt = J (О
так что
л-»0
При этом надо иметь в виду, что частные суммы ряда (22) представляют собой преобразование Фурье (с точностью до-
N
множителя) функций, равных ?a„fi„(0 ПРИ * ^ 0 и равных
ПРОГНОЗ И ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
297
нулю при t <. 0. Так как преобразование Фурье не меняет нормы функции в 5’г(—°°. °°), то из с. к. сходимости ряда (22) следует с. к. сходимость ряда для b(t) и
оо
^ | b (t) fdt < сю.
о
По поводу единственности полученной факторизации функции /(«) можно сделать замечания, аналогичные тем, которые были сделаны о факторизации функций на окружности. Выражение для А (со) можно получить из формулы (9), заменив z на со и произведя соответственную замену переменных под знаком интеграла:
А(со) = ехр{^- J (23)
' —ОО '
Теорема 3. Для того чтобы неотрицательная интегрируемая функция /(и) (—сю <м < оо) допускала факторизацию (13), (14), необходимо и достаточно, чтобы
оо
(24)
— ОО
При дополнительных условиях A(co)=^0 (Reco>0), А(1)>0 функция А (со) единственна и определяется формулой (23).
Теорема 4. Для того чтобы стационарный процесс ri(0 (—оо <! t <! оо) допускал представление (11), необходимо и достаточно, чтобы он имел абсолютно непрерывный спектр и его спектральная плотность удовлетворяла условию (24).
§ 6. Прогноз и фильтрация стационарных процессов
Одна из важных задач теории случайных процессов, имеющая многочисленные практические применения, заключается в следующем: требуется наилучшим образом оценить значение случайной величины ?, наблюдая некоторое множество случайных величин а е А}. Таким образом, нужно найти функцию /(|а|ссеЛ) от множества переменных а е А, с наименьшей ошибкой, удовлетворяющей приближенному равенству
?да? = /(?а|а<= Л). (1)
Примером такой задачи является прогноз (экстраполяция) ¦случайного процесса. В этом случае требуется оценить значение случайного процесса в момент времени t* по его значениям
298
ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
на некотором множестве моментов времени, предшествовавших t*.
Другим примером является задача фильтрации случайного процесса. В простейшем случае она состоит в следующем: в моменты времени t' еГ аТ наблюдается процесс ?(0="П(0+’ ‘+?(0> представляющий собой сумму «полезного» сигнала t(t) и «шума» ri (t); требуется отделить шум от сигнала, т. е. для некоторого t* G.T нужно найти наилучшее приближение t,(t) вида
?(0«? = /(6(01*'еГ).
Постановка задачи пока еще не закончена, так как не указано, что означает «наилучшее приближение». Разумеется, критерий оптимальности зависит от практического характера рассматриваемой задачи. Что же касается математической теории, то в ней преимущественно развиты методы решения поставленной задачи, основанные на среднем квадратическом уклонении как на мере точности приближенного равенства (1).
Величина
6 = {М [? — f (?а| а е А)]2}112 (2)
называется средней квадратической погрешностью приближенной формулы (1). Задача состоит в определении функции f такой, что (2) принимает минимальное значение. В том случае, когда А — конечное множество, под /(|а|осеЛ) мы понимаем измеримую по Борелю функцию аргументов |а, ос еЛ Если же А бесконечно, то этот символ обозначает случайную величину, измеримую относительно ст-алгебры g = а е/1}, порожденной множеством случайных величин {|а, ае-4}.
