Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
ip (i) = j d3kty (k) фкехр [— ico (к) t], (6.37a)
где г|з(к)—волновая функция в импульсном пространстве. Аналогично
г (0 = I d?k%(k) фк ехр [— ico (к) t\, (6.376)
170
Оператор рассеяния выражает линейную связь между состояниями системы и % при t-*~ — оо и t-*- + 00. Эту связь можно выразить и в терминах волновых функций в импульсном пространстве:
X(k) = J (к, к'Жк')- (6.38)
Так как практически ^ приближенно является плоской волной, то t|)(k) имеет пик типа б-функции, например при к=
кь Таким образом, амплитуда х(к) пребывания системы в состоянии фк при f-»-+oо как раз равна 5(к, к^. Иногда проще
обойтись без интегрирования по импульсам и представить (6.38)
в виде
Х = 5$. (6.39)
Предположим, что рассматриваемая система инвариантна относительно обращения времени. Тогда
Ф7-(/) = От-Ф (/) Ф* (—/)
является возможным состоянием системы, хотя его и трудно реализовать практически (см. рис. 6.2, а). При замене t---------------t из
(6.36) получаем асимптотический вид Фт(?):
(0 -> X*(— 0 = %т, t->— 00;
фг t) = ipjf /-> + оо.
Применяя операцию обращения времени к импульсному разложению (6.37а), получаем
1|з* (— t) = J d3k\(к) ф_к exp [— ico (к) t] =
= j d3kty* (— к) фк exp [— ico (k) /],
так как обращение по времени состояния с определенным импульсом меняет знак к. Вторая часть равенства получается из первой путем замены переменной.
Получен закон преобразования для волновой функции в импульсном пространстве при обращении времени
гр (k) -> Orijj (к) = гр* (— к).
Таким образом,
07"ф (0 = I dsk \Orty (к)} Фк ехр [— ico (к) /];
°т% (0 = ехр [— ico (к) /] ФкОт-Х (к).
Так как ОтФ(0 есть допустимое состояние системы с асимптотической зависимостью От% и при /->¦—оо и f-»-+oo
соответственно, то рассуждая так же, как и при выводе выражения (6.39), теперь получим
Ог$ = SOtX. (6.40)
171
Искомое соотношение для оператора рассеяния можно получить из (6.39) и (6.40). Умножим (6.40) на 5+ и, используя свойство унитарности 5+5 = 1, получим
S+Oj-ij; = От%. (6.41)
Кроме того, применяя оператор От к (6.39), получаем
От% — Oj-iSip = OjSOj O^ip. (6.42)
Сравнивая (6.41) и (6.42), делаем вывод, что условие инва-
риантности относительно обращения времени для оператора 5 имеет вид
OtSOtX = S+: (6.43)
Для оператора перехода, определяемого выражением S = l+iJT, оно означает, что
OtSFOJ1 = if+. (6.44)
Предположим, что уравнения (6.43) и (6.44) являются общими выражениями инвариантности относительно обращения времени в случае наличия спинов, а также для распадов и реакций, в процессе которых могут измениться число и вид частиц.
Чтобы вывести условие для элементов if-матрицы, преобразуем уравнение (6.44) и возьмем матричный элемент фп—фш. Тогда
(фя. ot'p+OtvJ = (фя, if ФяЛ С помощью выражения (6.30) получаем
(ф„, 0г'-Г+0Гфт) = (Огфл, 0T0Tl:J +ОтЧт) = = (фп, <^+фт)* = (фm, if фл).
Следовательно, инвариантность обращения времени приводит к соотношению
(фт, ^Фп) = (ф„, ^Фт), (6-45)
которое означает, что амплитуда перехода из состояния т в состояние п равна амплитуде перехода из обращенного во времени состояния п в обращенное во времени состояние т. Это соотношение называют иногда теоремой взаимности. Ее следствия мы обсудим в § 6.4, после того как выведем версию этого уравнения в формализме спиральности.
За исключением случая упругого рассеяния, когда начальное и конечное состояния содержат одни и те же частицы, уравнение (6.45) связывает амплитуды двух разных процессов: гп-^п и п-*-т. Однако существует такое приближение, при котором выражение (6.44) приводит к ограничению на амплитуду одного процесса.
172
6.2.5. Обращение времени в процессах первого порядка. Под
процессом первого порядка мы подразумеваем такой процесс, когда квадраты элементов ^-матрицы пренебрежимо малы по сравнению с самими матричными элементами:
(6.46)
Это имеет следующий смысл. Из условия унитарности 5-матри-цы 5+5=1 следует, что ^-матрица, определенная соотношением 5 = 1 + i<?Г, удовлетворяет условию S'— ?Г+¦-= i?Г?Г+. Таким образом, если взаимодействие слабо, правой частью равенства можно пренебречь и ?Г является эрмитовым оператором. Следовательно,
