Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, отметим, что это преобразование сохраняет нормировку (ф7-, ijJ7-); = (ij), ip)—<, что весьма существенно. Индекс можно опустить, так как нормировка во времени сохраняется.
165
6.2.2. Частицы со спином 1/2. В нерелятивистской теории Паули частица со спином 1/2 описывается двухкомпонентной волновой функцией i|) , <х=±1/2, которую можно записать в виде столбца
( $+«/, 0\ t) \
V Ф-«/Лг, t) У
Согласно уравнению (6.18), при обращении времени момент количества движения меняет знак. Потребуем, чтобы то же самое происходило со спиновым моментом количества движения. Таким образом, состояние со спином, направленным вверх, становится состоянием со спином, направленным вниз. Это означает, что равенство (6.15) надо обобщить, включив в него преобразование спиновых координат. Положим
1?(г,*)= VTWaa4;,(r,-o (6.19)
и постараемся определить 2х2-матрицу Маа', потребовав по аналогии с (6.18), чтобы
(^,S^=-(^,S40-*. (6.20)
Для сохранения вероятности матрица Маа' должна быть унитарной; S есть спиновый оператор, компоненты которого задаются матрицами Паули S=a/2.
Скобки означают теперь суммирование по спиновым координатам а. Имеем
(?, S?)t = 2 j (Г, t) Sa'CT^a (f. 0 =
OO'
= 2 ^ Ma’i’lpx' (Г, — t) Sa'a-^aT^T (*", — f) = acr
XT'
= 5JI ЛЦч (r, — t) (^SM')tx'^T' (Г, — t),
где волнистая черта сверху означает транспонирование матрицы.
Если выбрать матрицу М такой, чтобы
AiSAT = — S, (6.21)
то уравнение (6.20) будет удовлетворено.
Используем эрмитовость S(S* = S) и унитарность
М(М~1=М*), тогда (6.21) можно представить в виде M-1SA1= = —S*.
Следовательно,
М~хаМ = — а*. ( (6.22)
Так как ах и <х2 вещественны, а ау является чисто мнимой, то условие (6.22) требует, чтобы М коммутировала с av и антиком-
166
мутировала с ах и az¦ Любая матрица, отличающаяся множителем от ау, обладает этими свойствами. Пусть М = аау, унитарность которой обеспечена, если |а| = 1. Обычно полагают а= = —i, так что
Следовательно, состояние частицы со спином 1/2, обращенное во времени, есть
Отметим, что вся аргументация вплоть до соотношения (6.22) справедлива и для частицы с произвольным спином: выбор
спина 1/2 происходит при определении М.
6.2.3. Формальные свойства оператора обращения времени. Теперь определим оператор обращения времени, переводящий данное состояние в состояние, обращенное во времени:
Спиновые индексы здесь опущены.
Все рассмотренные выше операторы обладали тем свойством, что комплексные числа можно было коммутировать с этими операторами, т. е. Л(аг|5) = а(У1г|>).
Так как в оператор От входит комплексное сопряжение, то данный оператор этим свойством не обладает. Поэтому, применяя Ог, необходимо обращать внимание на порядок численных множителей. Действуя оператором От на волновую функцию, умноженную на комплексное число, получаем
Обладающий этим свойством оператор называют антилиней-ным.
Рассмотрим теперь свойства От. Мы показали, что в случае нулевого гпина и спина, 1/2 само состояние и состояние, обращенное во времени, удовлетворяет соотношению (i|jt, грт) = = -Сф» Ф)» и> следовательно, в терминах О имеем
(г. о = 2 (— 4)<^х (г> — *)•
(6.23)
Т
(6.24)
(6.25)
Ofty (г, /) = — ку|>*(г, — t).
(6.26)
(^(aip) = a'Ofty.
В более общем виде это часто выражается так: От {c^i + с2г|з2} = с\От^ + c'Ot-iJv
(6.27)
(6.28)
(ОтУ, 0Г1р) = Сф. -ф)-
(6.29)
167
В более общем случае для интеграла перекрытия двух состояний получаем
(От%, 0T<p)t = (ф, х)-< = (X, Ф)1Г (6.30)
Оператор, обладающий этими свойствами, называют антиуни-тарным. Уравнение (6.30) можно вывести из уравнения (6.29), если воспользоваться подстановкой 1|>=ф+%, ф=ф-{-1’% и формулой (6.27).
Обращение во времени Ат оператора А можно определить выражением
Ат = ОтАО^\ (6.31)
Здесь 0~’ — антиунитарный оператор, обладающий свой-
ствами
Oj Oj = ОтОт = 1 •
Оператор Ат обладает следующим свойством: среднее зна-
