Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Проследим, как преобразуются различные физические величины при обращении времени. Известно, что ускорение частицы a=d2r/dt2 удовлетворяет уравнению
ат (t) = а (— t). (6.3)
Кроме того, так как скорость частицы включает в себя первую производную по t, то
v T(t) = —v(—t). (6.4)
В механике все динамические величины можно получить из положения г и скорости v, так что их свойства при обращении времени вытекают из уравнений (6.1) и (6.4).
Таким образом, импульс р = т\ удовлетворяет условию
Vr(t) = — р(—/),. (6.5)
а момент количества движения подчиняется соотношению
• L7" (/) = гг X P7- = — L(— t). (6.6)
Этот принцип рассмотрения можно распространить и на классический электромагнетизм, описываемый уравнениями Максвелла:
\ ¦ Е = 4яр; \ X В----------------------------------5—= 4jxj;
v-В = 0; vXE + — ~- = °,
С ot
(6.7)
где р и j — плотность заряда и тока соответственно. Если предположить, что знак электрического заряда не меняется, то при
6* 163
замене t-*-—t знак p тоже не изменится, в то время как j изменит знак, так как включает в себя скорости элементарных зарядов:
Выполняя подстановку /-»- —t в уравнениях Максвелла, видим, что обращенные во времени электрическое и магнитное поля, определяемые выражениями
удовлетворяют уравнениям Максвелла с рг и jT в качестве источников. Следовательно, они являются физически реализуемыми полями.
Это поведение Е и В при обращении времени можно также вывести, рассматривая движение заряженной частицы в заданном электрическом и магнитном полях. В этом случае уравнение (6.1) заменяется на
где е — заряд частицы. Поскольку в правой части равенства в лоренцеву силу входит скорость, это уравнение остается инвариантным при подстановке t-+ —i, если . одновременно В заменяется на —В. Таким образом, гт (t) —возможное движение в полях Е и —В, если г(t) — возможное движение в полях Е, В.
6.2.1. Бесспиновые частицы. Попытаемся найти обращенную во времени волновую функцию для простой системы, описываемой гамильтонианом
являющимся квантовомеханическим аналогом описанного выше гамильтониана. Развитие состояния во времени описывается уравнением Шредингера
которое отличается от исходного знаком. Таким образом, t|)(r, —t) не является решением уравнения Шредингера (6.11).
Рт (г, /) = р (г, — t), '? (г, t) = — j (г, — 0.
(6.8)
ЕГ (г, 0 = Е (г, — 0; Вг (г, /) = — В (г, — t), (6.9)
(6.10)
§ 6.2. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
H = -^-v*+V(r)
(6.П)
Заменяя t на —t, получаем уравнение
— № - Ч? (г, — 0 = Щ (г. — 0
dt
(6.12)
Однако, переходя в (6.12) к комплексно сопряженным величинам, получаем
4- Ф* (г. - *) = Н'У' (г- —о ¦¦ (6-13)
С7Г
Но Н* = НЛ и (6.13) приобретает вид
1й4”1?*(г,-0=^*(г,-/). (6.14)
01
Из этого равенства следует, что естественно определить обращенную во времени волновую функцию равенством
i|>r(r, t) = i|>*(r, — t). (6.15)
Мы уже показали, что при таком определении уравнение Шредингера инвариантно относительно обращения времени. Например, если if> описывает частицу, которая движется вдоль оси Oz с импульсом k и энергией со = /г2/2т, то
¦ф (г, t) = ехр (ikz — ico/)
и обращенное во времени состояние
¦ф7- (г, t) = ехр (— ikz — ico/),
т. е. состояние частицы, движущейся вдоль оси —Oz с той же энергией.
Можно проверить, что это определение обращения времени согласуется с классическим, описываемым как предел с помощью принципа соответствия. Если обозначить нижним индексом момент времени, в который рассматриваются волновые функции, то среднее значение г в момент времени t в состоянии равно среднему значению в момент —t в состоянии
('Ф7', rife7-), = I Ч?7-* (г, О Г'!’7' (г, t) = J (г, — t) nj)* (г, — t) cPr.
Таким образом,
(V, rV)< = (Ч>. "W-*- (6Л6)
Это согласуется с равенством (6.2).
Кроме того, среднее значение импульса находят интегрированием по частям:
(tJj7-, рт|зг), = — (if, рт|з}_,. (6.17)
Таким образом, среднее значение импульса меняет знак [ср. с
(6.5)]. Отсюда находим свойства при обращении времени дру-
гих наблюдаемых. Так, для орбитального момента количества движения L = г X р имеем
0j^L^ = -(^M0-<- (6.18)
