Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
А>п = апЧп> ВЧ>n = bn(p„; п =1,2, . . .
Можно показать, что это возможно, если Л и В коммутируют,
[Л, В] = 0. (2.8)
Доказательство этого утверждения можно найти в любом учебнике по квантовой механике.
В заключение сделаем несколько замечаний о системе обозначений. Характеризуя состояние собственными значениями наблюдаемых, для которых оно является собственным состоянием, как, например, в случае плоской волны г|)р(л:), иногда удобно опустить зависимость от координат. Дирак пошел еще дальше, обозначив состояние с собственным значением импульса р символом \р> и назвав его кет-вектором. Произвольное состояние г|)(г) он обозна-
15
чил |if> или еще проще 1>. В этих обозначениях базис фьф2, ... принимает вид |1>, |2>, ... Вектор, комплексно сопряженный кет-вектору |п>, обозначается <л| и называется бра-вектором [в прежних обозначениях ф* (г)]. Интегралы перекрытия -ф(г) и Фл(г), обозначаемые ранее (фп, ф), теперь принимают вид
<п I Ч>> = j (г) 41 (г),
а величина, комплексно сопряженная ему, <я|'ф>* = <Ч|)|л>.
Матричный элемент оператора А, являющийся интегралом перекрытия /Ц(г) и ф(г), теперь запишется в виде <ф|Л|ф>.
В основном обозначения Дирака будут использованы для описания внутренних состояний частиц, в частности для изоспина и группы SU(3).
2.1.3. Развитие системы во времени и 5-матрица. Изложенные в двух предыдущих разделах понятия относились к любому определенному моменту времени. На практике же мы наблюдаем непосредственно или косвенно, как система развивается во времени. Развитие во времени волновой функции описывается уравнением Шредингера
ihdty/dt = #г|), (2.9)
где Н — оператор Гамильтона этой системы. В нерелятивистской квантовой механике Н — полная энергия системы, выраженная
/N
через координаты п импульсы, причем для импульса р = —i^V-
Область применения уравнения Шредингера можно разбить на две части: связанные состояния и процессы рассеяния. Почти всю информацию об элементарных частицах мы получаем, изучая процессы рассеяния. Пока успешно разрешена только одна релятивистская проблема связанного состояния для связи пары электрон — позитрон в позитроний. Поэтому ограничимся рассмотрением квантовомеханического описания процессов рассеяния.
При обычном рассеянии или реакции между элементарными частицами a + b->c + d + е можно выделить три стадии. Сначала а и b обладают определенными импульсами и, возможно, определенными спиновыми ориентациями, затем они взаимодействуют в некоторой области с радиусом порядка 10-13 см. Наконец, возникают продукты реакции с, d, е, ..., которые детектируются с помощью счетчиков и других приборов, когда частицы достаточно отделены друг от друга и движутся свободно.
В результате такого эксперимента мы получаем непосредственно вероятное распределение W(рс, Pd, ре, ...) импульсов (и спинов, если они наблюдаемы) конечных частиц относительно начальных.
Так как уравнение Шредингера (2.9) дает полную информацию о развитии во времени волновой функции системы, то мы получаем в принципе возможность вычислить W(pc, pd, ре). В нерелятивистской квантовой механике этот расчет можно провести для упругого рассеяния а + Ь^а-\-Ь (см., например, [134]). В релятивистском случае, когда частицы могут также аннигилировать
16
и рождаться, еще справедливо уравнение Шредингера (2.9) (см., п. 2.2.3), но ф не является уже просто функцией положения частиц, и решить уравнение можно только в рамках теории возмущений. Оказалось, что в качестве базисных переменных теории, в особенности при изучении сильных взаимодействий, удобно выбирать амплитуды рассеяния или реакций, подобные амплитудам,, описанным выше, квадраты модулей которых равны вероятности W.
Амплитуду реакции называют также элементом 5-матрицы. Дадим теперь прямое определение этой величины. Как мы уже видели, в условиях эксперимента по рассеянию начальное и конечное состояния представляют собой по существу свободные частицы. Такие состояния можно полностью определить, если знать для каждой частицы импульс, проекцию спина и другие внутренние квантовые числа, например изоспин. Обозначим все эти параметры вместе индексом а, который и будет характеризовать-состояние. Для простоты предположим, что а принимает дискретный ряд значений.
Пусть фа означает начальное состояние системы. Состояние системы после взаимодействия описывается определенным вектором состояния г|з. В общем случае этот вектор г|з имеет компоненты, относящиеся как к разным неупругим конечным состояниям, так и к упругому рассеянию. Однако принцип суперпозиции и линейность уравнения (2.9) требуют, чтобы ф можно. было записать в виде
Ф=5фа, (2.10)
где 5 — оператор рассеяния.
Если система находится в состоянии фа', а соответствующее конечное состояние ее есть ф', то начальное состояние афа + Рфа7 перейдет в конечное аф + Рф'. Значит, if и ф„ должны быть связаны уравнением вида (2.10).
