Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
В квантовой механике каждой наблюдаемой соответствует эрмитов оператор. В литературе используют как понятие наблюдаемой, так и понятие представляющего ее оператора. Для эрмитова оператора
j dxW*A<& = | dx (Л40* Ф, (2.2)
т. е. (’F, ЛФ) = (ЛЧГ, Ф), что справедливо для любой пары векторов состояния Ф и
Вообще любому оператору Л соответствует эрмитово сопряженный Л+. Он определяется так, что для любых двух волновых функций ф и -ф справедливо равенство (г|), Л+ф) =|(Лг|э, ф).
Таким образом, эрмитов оператор—это оператор, равный сопряженному к нему, т. е. Л+ = Л.
Собственным значением А называется величина а, для которой уравнение Лф = шр имеет решение. Соответствующее решение ф называется собственной функцией. В общем случае существует много решений, обозначаемых ф„, п = 1, 2, .., и
^Фя = аяФЛ. я=1. 2,
Свойства эрмитовости (2.2) достаточно для того, чтобы 'показатьт что все а —действительные числа. Из формулы (2.2) следует также, что собственные функции, соответствующие'разным собственным значениям, ортогональны.
В отдельных случаях несколько собственных функций могут соответствовать одному и тому же собственному значению; таким образом, некоторые из ап могут оказаться равными. Если г разных собственных функций соответствуют одному и тому же собственному значению, то собственное значение называется r-кратно вырожденным. Линейная суперпозиция двух собственных функций, соответствующих одному и тому же собственному значению, сама соответствует этому значению.
Следовательно, применив, например, процесс ортогонализации Шмидта, можно сделать так, чтобы разные собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, были взаимно ортогональны.
Предположим также, что собственные функции наблюдаемой образуют полный набор, т. е. так называемый базис. Согласно постулату интерпретации квантовой механики, единственно возможным результатом измерения наблюдаемой А является одно из ее собственных значений ап. Более того, если система находится в состоянии 4я, вероятность получения а в результате измерения А определяется формулой
Р(а) = 2\сп I2, (2.4)
П
где с„ — коэффициент при фп в разложении данного нормированного состояния Ч*1 по собственным функциям А:
ч (х, У, г) = 2 спЧ>п (х, У, 2). (2.5)
П
Суммирование в (2.4) проводится по всем п, для которых ап = а. В невырожденном случае
РК) = \СП I2,
и можно считать, что амплитуда вероятности | квадрат модуля которой равен Р(ап)~\ того, что система находится в состоянии ц>п(х, у, z), задается интегралом перекрытия
(фя, = Idxф’ (х, у, z) Y (*, у, г).
Предположим, что в результате измерения А получена величина ап. Если собственному значению ап соответствует только одна собственная функция ф„, система сразу же после измерения
будет находиться в состоянии, описываемом функцией ф„. Этот
вывод справедлив для большого класса измерений.
В более общем случае г собственных функций , ..., фПг
соответствуют собственному значению ап, следовательно, система будет находиться в состоянии
S с‘Ч>*г 1=1
14
2.1.2. Одновременное измерение двух наблюдаемых. Операторы в общем случае не коммутируют. Например, оператор координаты х и оператор импульса
Pt = — i Нд/дх (2.6)
удовлетворяют соотношению
[х, Рх\ = хРх — Р= Ш.
Здесь и в дальнейшем операторные уравнения следует интерпретировать как утверждения, что обе части уравнения дают один и тот же результат после их применения к произвольному вектору состояния системы.
Часто удобно характеризовать векторы состояний собственными значениями наблюдаемых, для которых они являются соб-
ственными состояниями. Так, плоскую волну
Чгр (х) = exp (i рх/П) (2.7)
можно считать собственной функцией оператора импульса (2.6), соответствующей собственному значению р. В этом случае одна наблюдаемая полностью характеризует состояние. В более общих случаях может возникнуть необходимость характеризовать состояние собственными значениями дополнительных операторов. Поэтому рассмотрим случай, когда две наблюдаемые А и В могут одновременно обладать определенными значениями.
Будем считать, что А и В можно измерить одновременно, если, измеряя А, получаем а, а измеряя затем В, получаем Ь, и далее, снова измеряя Л, получаем а, и т. д. Например, можно измерить импульс частицы по времени ее полета, а затем измерить компоненту спина, пользуясь устройством Штерна — Герлаха. Таким образом, измерение В не должно выводить систему из состояния, в которое она попадает при измерении Л. Это означает, что состояние есть собственный вектор как Л, так и В. Если этот результат справедлив для любого состояния, то можно найти полный орготональный базис фь ф2, ..., каждый член которого будет одновременно собственным состоянием Л и В:
