Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
(5.57) следует, что
U 0) = % (- ir^-x (W, 0), (5.59)
где четность реакции
Лр = ЛаЛ*/ЛсЛй- (5.60)
Восстанавливая зависимость от ф, преобразуем уравнение (5.59) к виду
fnx(W, 0, ф)= rip (— I)’1-*'ехр (21*Аф)(ИГ, 0, ф).
Таким образом, матрица в базисе спиральности имеет вид
/++, — ЛР ехР (—1ф) /-1-/-+, ЛР ехР ( 1ф) /++
Чтобы сравнить этот результат с нерелятивистским , подходом, преобразуем конечные состояния спиральности к той же оси квантования z, что и для начальной частицы со спином 1/2. Это преобразование описано в § 4.8. Для рассмотренного здесь более общего выражения имеем
/(Г, 0, Ф) =
F(W, 0, Ф) =
0 t 0 f cos —/++-sm —/_+,
(sin -j- f++ + cos -j- exp Оф),
132
0 0 \ sin-j f++— cos тf-+)exp i(p)
0 f . 0 f Лр cos — /++ — rip sin — /_+
(5.61)
Спиральные амплитуды правой части (5.61) приведены при Ф = 0, поэтому мы имеем здесь явную зависимость от ф. Случай т1р= + 1 соответствует яМ-рассеянию и рассмотрен выше, где показано, что F можно представить в виде
F — §Ф) 1 + • п Л (0), (5.62)
где п — нормаль к плоскости рассеяния. В случае %= —1
F (W, 0, ф) = / (0) о • р) + k (0) о ф/. (5-63)
Здесь р( и ру — единичные векторы вдоль направления движения начальной и конечной частиц со спином 1/2, причем
9, = (0, 0, 1);
= (sin 8 COS ф, sin 0 sin ф, COS 0).
Таким образом,
jT_fl 0\. a.^-f cos 0 sin 0 exp (—i9)
p‘ \0 — \)' Vf \sin 0 exp (1'ф) —cos0
Уравнение (5.63) согласуется с (5.61), если амплитуды /(0) и А(0) определяются выражениями
k (0) sin 0 = sin ~ f++ + cos ~ f_+; j (0) -f k (0) cos 0 = cos -у /++ — sin у /_+.
Таким образом, если общая внутренняя четность не меняется (%= + 1), то амплитуда рассеяния имеет вид
F = g(0)l -[- ih(0) ¦ (5.64)
I [рг x p/] |
Если же общая внутренняя четность меняется (%= — 1), то
f = /(0)о-рг + /%(0)о-р/, (5.65)
Эти формулы можно вывести, пользуясь элементарными аргументами инвариантности, следующим образом. Поскольку F есть 2х2-матрица в спиновом пространстве, то ее можно образовать из единичного оператора в спиновом пространстве 1 и вектора спиновых матриц Паули а. Инвариантность относительно враще-
133
ний требует, чтобы матрица F была скалярной. Векторы, которые годятся для образования скаляра с вектором а, образуются из импульсов в с. ц. м. Такниж векторами могут быть единичные
Если в конечном состоянии произведение внутренних четностей такое же, что и в начальном состоянии, то матрица F должна быть истинным скаляром относительно отражений. Таким образом,
так как рг и р/ меняют знак при отражении, а п — нет, то мы приходим к формуле (5.64). С другой стороны, если общая внутренняя четность меняется, F должна быть псевдоскаляром относительно отражений и, следовательно, может содержать только
o'-р,- и арf. В этом случае справедлива формула (5.65).
Эти элементарные аргументы нелегко обобщить для спинов более высокого порядка. В подобных случаях, а также в случае безмасссвых частиц предпочтительно описывать свойства последних, используя спиральность.
Наконец, вернемся к распадам, при которых четность сохраняется. Амплитуда распада Л->-а + 6 в состоянии покоя есть
Здесь мы ограничились рассмотрением уравнения (4.114) в плоскости xz, ф = 0. Как и раньше, возьмем матричный элемент
между состояниями А и ab. Для состояния покоя А имеем
и (',) Фом = V{YJ и (Р.) фом = гии (Гя) фом = л.4 (-1)^4,^,
в то время как для состояния ab с помощью уравнения (5.53) находим
—/-V-V-* <в>=Кч*(5-бб)
ЧаЧь{—!) “ а ь ь “ ь аЬ
Введя в уравнение (5.66) явный вид угловой зависимости [(d) [см. формулу (4.115а)]
Используя в правой части равенства тождество для d-функции
векторы рг, рf и п, где
n = [р,- X Р/]/| [р,- X Р/] |.
U(Iy)-lSU(Iy) = S
получим
dJMM' (0) = (-l)M'-MdLM,-M' (0),
134
после сокращения функции dJ имеем уравнение [см. формулу (4.117а)]
D"Sa“Sia-v-^ = \v
которое представляет собой условие сохранения четности для упомянутой выше амплитуды распада.
5.4.3. Четность и безмассовые частицы. В § 4.5 обсуждались некоторые особенности лоренц-инвариантного описания безмассовых частиц. При этом мы опирались на то, что из лоренц-инва-риантности следует, что безмассовая частица со спином s может существовать только в состоянии спиральности K = s или Х = —s. Иными словами, проекция спина на направление движения при т = О является лоренц-инвариантной величиной.
