Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что хотя /(/+1) %2 есть собственное значение J2, произведение j Н имеет больший смысл, так как это наибольшее значение Jz в мультиплете.
3.2.2. Матричные элементы операторов момента количества движения. Найдем теперь матричные элементы операторов J в базисе состояний я|)(а, /, т). Выше мы показали, что состоянию /+я|)(а, /, т) соответствуют собственные значения а, /(7+1) и (m+l) Н операторов A, J2 и Jz. Если предположить, что операторы А выбираются так, чтобы дополнять J2 и Jz, то любое состояние с этими собственными значениями должно быть со-
39
стоянием ф(а, /, т+1) с точностью до мультипликативной постоянной. Следовательно,
J+У (а, /. т) = Р+ (/, т) Ф (а> /. m + !)• (3-34)
Аналогично имеем
•М> (а, /, т) = р_ (/, т) ^ (а, /, m — 1). (3.35)
Это можно записать иначе:
№ (а, /, m + 1), (а, /, m)) = р+ (/, m)
или, так как У_ = У+,
ОМ? (а, /, т + 1), я|> (а, /, т)) = р+ (/, т). Следовательно,
(Ч?(«, /, т)> /. m+ 1)) = р+(/, т)*.
Заменяя т в равенстве (3.35) т+ 1, получаем
(Ч? («» /. т). /, m+ 1)) = р_(/, т + 1).
Следовательно,
Р._ (/, "г + 1) = Р+ (/, я»)*. (3.36)
Отсюда получаем
j, т) = | р+(/, т— 1) |2^(а, /, т);
У_У+^(а, /, т) = | р+(/, т) |2^(а, /, т).
Используя коммутационное соотношение [./+, ./-] = 2HJZ, получаем
| Р+ (/, т — 1) |2 — | р+ (/, т) |2 = 2тП. (3.37)
Это уравнение позволяет подсчитать |р+(/, т) |2 рекуррентно, начиная с т = +/.
В соответствии с уравнением (3.34) для m=+j должно выполняться соотношение
Р+ (/> + /) = 0, (3.38)
чтобы не противоречить условию (3.30). Используя формулу для суммы арифметической прогрессии и уравнения (3.37) и (3.38), получаем
| Р+ (/, >п) |2 = [/ (/ + 1) — т (т + 1)] К2.
Стандартный способ выбора фазы, называемый фазовым условием Кондона и Шортли, состоит в извлечении действительного положительного квадратного корня из этого выражения:
Р+ (/, m) = h[J(j+l) — m(m+ l)]v* = h [(/ — т) (/ + т + 1)]1/\ (3.39)
40
Из равенства (3.36) следует
Р„ (/. т) = П [/ (/ + 1) — т (т — 1)]v* = П [(/ + m)(j — m + 1)]*/з .
(3.40)
Из уравнения (3.40) видно, что условие р_(/, —/) = 0 необходимо для того, чтобы уравнение (3.35) было совместимо с уравнением (3.31).
Опуская знак а, имеем:
•РФ (/. т) = /(/+ !) (/, т);
Jz'l5 (/, tn) = тП\Jj (j, т);
J±ty (/. т) = П [(/ + т) (j ± т + 1)]'/г Ц (/, т ± 1).
(3.41)
Следует подчеркнуть, что вывод этих уравнений основывается только на коммутационных соотношениях для Jx, Jy и Jz.
Можно проверить, что для целых / и т сферические гармоники Yjm(Q, ф) удовлетворяют системе уравнений (3.41).
С математической точки зрения / и т могут быть полуцелы-ми. В действительности, когда этот случай осуществляется, операторы J выражаются матрицами.
Матричные элементы J2, Jz и J± относительно функций г|i(j, т) получить легко. Эти операторы после применения к состоянию с заданным / дают состояние с тем же значением j, но, возможно, с другим значением т (или линейную комбинацию таких состояний). Следовательно, остается рассмотреть матричные элементы между состояниями с одним и тем же значением /. В этом случае будем считать, что состояния г|:(j, т) нормированы каждое в отдельности на единицу, в то время как состояния с различными j или т ортогональны, так как принадлежат к разным собственным значениям эрмитова оператора (J2 или Jz). Таким образом, имеем
(/', tn'), (/, tn)) = б/7 Ьт>т.
Взяв скалярное произведение уравнений (3.41) и состояния г|з(/, т'), получим матричные элементы операторов J2, 1г и /±. Из последнего уравнения найдем матричные элементы операторов Jx и Jy. Результат запишем в следующем виде:
01> (/, tn), j2^ (j, т)) = щ+ i) ^2;
Ж/, tn), J2ty (j, т)) = mh-M? (/, tn ± 1), Jxty (j, tn)) = (П/2) [(/ + tn) (j ± m+ l)]1/!;
(/, tn ± 1), Jyty (j, tn)) = (\H/2) [(j + m)(j±m-ir 1)]1/г.
Для случая /=1/2 матричные элементы Jx, Jv и Iz относительно базисных состояний можно записать в виде 2x2 матриц:
(1/2, т'), Jxty( 1/2, т)) = (Sx)m,m и т. д.
41
Теперь используем так называемые матрицы Паули:
*-(*-?)•
Тогда S[ = НО[/2, где индекс i принимает значения х, у я z. Матрицы Паули подчиняются коммутационным соотношениям
К, од = 2юг и т. д., (3.42)
выполняющимся в силу условия (3.19), и правилам перемножения
ахоу = i аг и т. д., (3.43)
