Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
[Jz, J±] = ± hJ±; (3.22)
[J+, J-] = 2HJZ. (3.23)
Квадрат полного момента количества движения J2, выраженный через /± и Jz, имеет вид
J2 = J-J+ + Л + KJ2; (3.24)
J2 = J+J- -}- Л — hjz. (3.25)
Поскольку оператор J2 коммутирует с Jx и Jy, то он коммутирует также и с /±: [J2, У±] = 0 и, конечно,
[J2, J2\ = 0.
Рассмотрим систему с операторами момента количества движения J. Выберем J2 и Jz диагональными, обозначив их собственные значения для общего состояния k2h2 и mh. Собственное значение J2 запишем в виде k2H2 на основании того, что так как J2 есть сумма квадратов эрмитовых операторов, то его собственные значения должны быть не отрицательными (т. е. положительными или равными нулю).
37
Доказательство. Для любого состояния я|) (оно может и не быть собственным состоянием Q):
01>, Q4) = (ч», Q+Q^) = S (^, <Э+Фл) (фя. Q15) = S I (ф„, Q^>) Г > о.
п п
Здесь введен полный набор состояний удовлетворяющих условию 2 ФлФп = 1- Такой оператор называется положительным по-
П
луопределенным.
Из всех операторов системы выберем те, которые коммутируют с Jx, ]у и Jz и, следовательно, с J2 и Jz. Выбранные операторы обозначим А, а их собственные значения а. Таким образом, состояние системы полностью характеризуется собственными значениями а, k2 и т. Состояние системы обозначим ^(а, k2, т), где для ясности собственные значения записаны не в виде индексов, а в виде аргументов. Величины A, J2 и Jz Дирак назвал полным набором коммутирующих наблюдаемых системы.
Мы не охарактеризовали систему подробно, так как приведенный аргумент справедлив в общем случае. Сконцентрируем свое внимание на состояниях с фиксированными значениями а и k2. Сначала покажем, что возможные значения m для таких состояний ограничены.
Состояния я|)(а, k2, ,m)—собственные состояния оператора
Jx + Л = J2 — Jz с собственным значением (k2—m2)h2. С другой
2 2
стороны, оператор Jx + Jy является положительным полуопре-деленным оператором, он не имеет отрицательных собственных значений. Следовательно, k2№-—0 или
(3.26)
Векторы состояния /±я|)(а, k2, т)—собственные состояния Jz с собственными значениями т± 1, так как с помощью (3.22) получаем
JZJ±^ (л, ?2, т) = (J±Jz ± %J±) ^ (а, k2, т) =
= (J±mh ± hJ±)ty(a, k2, т) = (т + 1) HJ±я|) (a, k2, т). (3.27)
С другой стороны, операторы /± коммутируют с J2 и А, следовательно, состояния J±ty(a, k2, т) принадлежат к тем же собственным значениям k2 и а этих операторов:
AJ±ty (a, k2, т) = aJ±ty (a, k2, т) (3.28)
и аналогично
J^Jity. (а, k2, т) — H2k2J±\J?(a, k2, т). (3.29)
Применяя J± к состоянию ty(a, k2, т) повторно, получаем новые состояния с теми же значениями a, k2h2, но с новыми собственными значениями Jz: (т+ 1)&, (т + 2)Н В силу условия
(3.26) эту операцию можно повторять ограниченное число раз.
38
Это может быть лишь тогда, когда для некоторого значения т, обозначенного т0,
J+ty(a, k2t trig) = 0. (3.30)
Повторное применение оператора /_ дает состояния с собственными значениями (т—4) Н, (т~2) Н, ..., поэтому т должно иметь минимальное значение (обозначим его mi), причем будет выполняться равенство
k2, ту) = 0. (3.31)
Из выражения (3.30) следует, что (a, k2, т0) = 0, но с
учетом (3.24) можно переписать это равенство в виде
(У2 —Л — hJz) ^ (a, k2, т0) = 0.
Следовательно,
(k2 — т2 — т0) П2^ (a, k2, т0) = 0,
т. е.
k2 = mQ(mQ +1). (3.32)
Аналогичным образом из равенства (3.31) с учетом (3.25) находим, что
k2 = ml(ml—1). (3.33)
Из (3.32) и (3.33) получим уравнение mQ(mQ+1) =т.\ (ту—1), решая которое найдем, что т{ = -—т0 или mi = m0+l. Второе решение следует отбросить, так как предполагалось, что т0 Н —¦ наибольшее собственное значение Jz. Чтобы обозначения соответствовали стандартным, заменим т0 на /.
Таким образом, показано, что возможные собственные значения Jz, соответствующие фиксированному для J2 собственному значению /(/+1), пробегают область целых чисел от + / до —/. Так как общее число таких значений (2/+1) есть положительное целое число, то ограничение, накладываемое на /, есть / — целое, полуцелое или нуль.
В дальнейшем будем характеризовать состояния преимущественно числом j, а не /(/+1). Множество состояний я|)(а, /, т) с m = —j, —/+1, ..., /—1, / называется мультиплетом с моментом количества движения /.
