Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Из (В.17) имеем закон преобразования операторов сдвига
PcI±PTl=-I^. (В.20)
Теперь определим оператор G-четностн:
Ua = Uc ехр (— iя/2) = ехр (— iл/2) Uс,
Обратный оператор есть
Uq1 — ехр (in/,) — ехр (iл/2) Uс.
С помощью (В.4) и (В.20) можно показать, что
ug!±ug1 = ис ехР (— ’т1г) /± ехР ис1 = ис (— 7т) ас 1 = + 7± * Аналогично, используя (В.2) и (В.176), находим
UgWg'1 = + /з-
Таким образом, Un коммутирует с алгеброй изоспиновых операторов /± н /*
и, значит, собственные состояния G-четностн и нзоспнна существуют одновременно.
Отметим, что
Uq = Uc ехр (— ш/2) Uc ехр (— iя/2) = ехр (— 2ni/2).
Так как Uq = 1, имеем
t/e = ехр (— 2л!/2) = (— 1)2/. • ' (В .21)
Это равенство получается потому, что так же, как и для обычного момента количества движения, в случае изоспина поворот на 2 л оставляет вектор состояния неизменным или умножает его на —1 в соответствии с тем,, является ли полный изоспин / целым или полуцелым числом.
Вернемся к условию: если в (В.4) выбрать а= + 1, то в определении Ug потребуется ввести ехр (—тЛ). Этот выбор сделан Челленом [111]. Смешивание обоих условий приводит к противоположным G-четностям заряженных и нейтральных пионов (Фрезер [79]). Хотя это не сказывается на физических следствиях, концепция G-четности теряет свою простоту.
§ В.З. Фазовые условия в SU (3)
Как мы уже видели, из одновременной инвариантности относительно /- и tZ-спинов можно получить важные следствия для St/(3)-инвариантности.. Обеими инвариантностями относительно легко манипулировать, так как они требуют только знания алгебры момента количества движения. Мы выоерем
329
U-, а не V-спнн, так как электромагнетизм сохраняет [/-спнн. С этой точки зрения распространение фазового условия Кондона — Шортли на условие, выдвинутое в п. 10.3.4, вполне естественно.
Фазовое условие в SU(3): матричные элементы /± и U± должны быть вещественными и положительными.
Преимуществом этого условия является то, что расчеты, выполненные с ломощью техники U- и /-спинов н SU (,°.)-коэффициентов Клебша — Гордана, точно согласуются с расчетами, выполненными целиком с помощью S[/(3)« коэффициентов Клебша — Гордана.
Аналогично правило (В.4) действия оператора Uc на операторы /-спина можно распространить н на [/-спин. Таким образом,
Знак справа опять выбран условно.
Для супермультиплетов кварков 3 и антикварков 3* можно проверить, что наше SU(3)-фазовое условие удовлетворяется для стандартных состояний, определяемых следующим образом:
|3 + 1/3, 1/2, +1/2) =|и>; 13*. +2/3, 0, 0; = |i>;
I з, +1/3, 1/2, —l/2> = |d>; | 3*, —1/3, 1/2, +1/2) = — | Л);
I 3, -2/3, 0, 0) = |s) , | 3*, -1/3, 1/2, —1/2) = | ы) .
Здесь условие просто распространено на случай мультиплетов изоспинов и проверено для [/-спина.
Стандартные состояния октетов барионов и мезонов выбраны так, чтобы они согласовались с условиями, принятыми для соответствующих мультиплетов изоспинов. Они приводятся в табл. В.1.
Таблица В.1
Определение стандартных SU (З)-состолний баряэмнык и мезонных октетов
|8, Y, 1, Мезон Барион Антибариои
|8, +1, 1/2, +1/2) \К+) 1 р) -|1=>
|8, +1, 1/2, -1/2) \К°) \п) 13»)
18, 0, 1, +1) --- | я+> -|2+> -|2->
1 8, 0, 1, 0> | п°> |2°> |2°>
| 8, 0, 1, ---1> | л-> |2-> |2+>
1 8, 0, 0, 0> |Т)°> |Л°> |Л»>
18, -1, 1/2, +1/2) -\К°) |Н"> -1«)
|8, -1, 1/2, -1/2) и-> |з-> IP)
К сожалению, обычно используемое условие де Сварта [57] требует (в наших обозначениях), чтобы /± и V± имели положительные матричные элементы. Отрицательные знаки в коммутационных соотношениях (10.14) препятствуют одновременной положительности матричных элементов всех шести операторов.
330
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА ДЛЯ 8X8
Приведем коэффициенты Клебша — Гордана для произведения 8X8 ff виде выражений для двухчастичных состояний |iV, Y, I, /3> с определенными полными Y, I н /3, принадлежащих супермультиплету N=27, 10, ю*, 8А, Ss или 1.
Системы барнон — мезон уже использовались раньше в качестве конкретного примера, но полученные результаты, конечно, применимы к любым двум октетам при соответствующем изменении обозначений.
Символ [ВМ] в правой части обозначает состояние двух частиц В и М с определенным значением полного нзоспина / и /з, заданных вектором состояния в левой части. Коэффициенты перед символами [ВМ] являются как раз изо-скалярными множителями.