Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Если рассматривать трансляции в двух разных направлениях, скажем ах вдоль оси х м az вдоль оси z, то очевидно, что порядок, в котором эти трансляции имеют место, не существен. Значит,
U(ax, 0, 0) U (0, 0, az) = U (0, 0, az)U(ax, 0, 0) для всех ах и аг.
Будем считать ах и az инфинитезимальными. Используем выражение (2.55) и соответствующее уравнение для 8ах'-
U (8ах) =1 — i 8axPJh.
Результирующее уравнение справедливо в первом порядке ло величинам 8ах и 8ах:
РхРг — РщРх = 0.
-Аналогичным образом можно показать, что [Ру, Рг] = 0; [Рх, Ру] = 0.
30
2.3.2. Закон сохранения импульса. Трансляционная инвариантность служит первой простой, но важной иллюстрацией того, как_ принцип инвариантности налагает условия на гамильтониан и S-матрицу.
При анализе трансляционной инвариантности в рамках обычной волновой механики Шредингера предполагалось, что вектор-состояния является функцией координат положения. Однако в релятивистской теории, как известно, понятие координаты положения не используется. Вместо этого можно стать на более абстрактную точку зрения, введя вектор состояния, полностью описывающий состояние системы. Но функцией каких величин он является.'* Как мы уже знаем, из трансляционной инвариантности следует существование эрмитовых операторов Рх, Ру, Pz, которые по аналогии с нерелятивистской теорией отождествляются с компонентами импульса. Таким образом, рассматриваемые состояния мы будем характеризовать собственными значениями импульса.
Если система состоит из одной частицы, то в импульсном представлении полный набор состояний представляет собой множество собственных состояний импульса, обозначаемых фр и удовлетворяющих уравнениям Рфр = Рфр • Общее состояние частицы можно-представить в виде суперпозиции таких состояний:
W = \d3pf( р)фр,
представляющей собой не сумму, а интеграл, так как р пробегает непрерывную область. Функция f(р) есть волновая функция в импульсном представлении. Вероятность того, что импульс частицы находится в интервале (р, p + dp), есть \f(p)\zd3p. Полный набор состояний двух и более частиц получим, взяв произведение состояний фр.
Таким образом, ф*,12^ = фр1,фр^) представляет собой состояние частицы 1 с импульсом р! и частицы 2 с импульсом р2. Подобные состояния образуют подходящий базис для определения элементов S -матрицы в описанных выше процессах рассеяния.
Рассмотрим двухчастичную реакцию a + b-*-c+d. Амплитуда перехода из начального состояния ф в конечное Ф„ „ есть
ра,го pc’pd
^pc’pd ’ 5фРа-Р^ ¦
Из трансляционной инвариантности, выражаемой формулой UJS = SUa, следует PS = SP.
Для матричного элемента этого уравнения между состояниями фра.р6 и q>pc,pd, являющимися собственными состояниями Р. получим
(Рг + Рd) (фрс-р<*> ^Pa’Pfc) = O^Pe-Prf’ .^РРц’Р*) ’
Из этого равенства следует, что амплитуда перехода между рассматриваемыми состояниями равна нулю, если полный импульс-обоих состояний не остается тем же самым, т. е. не сохраняется..
Глава 3
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим квантовую теорию момента количества движения и покажем, как он связан с трансформационными свойствами системы относительно вращений.
Вопросы, о которых пойдет речь в этой главе, особенно важны, так как, во-первых, вытекающие из них выводы имеют большую .практическую ценность, а во вторых, алгебра момента количества движения является прототипом той, которая используется для лю->бой непрерывной группы преобразований симметрии. Таким образом, алгебру SU (3) и другие высшие симметрии можно лучше понять по аналогии ’.с моментом количества движения. Например, алгебра изотопического спина и алгебра момента количества движения полностью совпадают.
Из элементарной квантовой механики хорошо известно, что .для системы, обладающей сферической симметрией, можно вы--брать такие состояния с определенной энергией, которые будут собственными функциями оператора момента количества движения. Коротко остановимся на этом.
3.1.1. Операторы момента количества движения и их коммутационные соотношения. Компоненты векторного оператора момента количества движения L можно получить из классического выражения
§ 3.1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
L = г X P,
(3.1)
лодставляя в него
р -> — i Ну,
(3.2)
что дает
L = —¦ iftr X V*
(3.3)
Таким образом,
Lx — — ih (ydjdz — гд/ду)-,
Ly = — ih (гд/дх — xdjdz); ¦ Lz = — \h (xdjdy — yd/dx). ,
(3.4)
32
Стандартные правила преобразования частных производ^. позволяют выразить эти операторы в сферических координата^
Lx = ih (sin ф д/дд -f- ctg 0 cos ф д/д(р); j
