Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Частица со спином s в хорошо определенном состоянии описывается вектором состояния г)з, который можно представить в виде столбца из 2 s+ 1 компонент, элементы с^ которого являются амплитудами частиц со спиновыми проекциями А, направленными вдоль определенной оси квантования.
Имеем
'I3 = 2 Wx. (Б.1)
х
В матричных обозначениях
cs l 0
CS---1 0 l
CS---2 0 0
• ; <Ps = • ; <Ps-i =
c---s 0 6
Величины обычно являются собственными функциями z-компоненты
спина Sг или оператора спиральности
55? = J-Р/ | Р I.
Однако необходимо, чтобы они образовывали полный набор спиновых состояний.
Среднее значение любой наблюдаемой А, связанной со спином частицы, например ^-компоненты спина, задается выражением
(г|з, Лг|з) = 2 (срц, Ар?_) = У (Б.2)
|Лл. |Лл.
в которое введено разложение (Б.1), а А ^ —матричный элемент А в базисе ср^ •
Теперь представим себе N частиц, часть Ni которых находится в состоянии N2 — в состоянии г)з<2> и т. д. Чему будет равно среднее значение,
которое получается при измерении А для всех членов ансамбля?
Для доли случаев Wi — Ni/N получаем
318
где С<|>—коэффициент разложения в базисе фд . Для доли w2—N2/N получаем
2 C<2>42)V
цЯ.
и т. д. Следовательно, среднее значение А по всему ансамблю
<Л> = 2“v2 cir)\[r)A к. (Б.З)
г |аА>
Рассмотрим вид этого выражения. Матричные элементы зависят
только от величины А, выбранной для измерений, н от базиса ф^ , в котором разлагаются состояния г)з^\ В то же время
Р^ = ^ЛГ) V' , (Б.4)
содержит информацию о состоянии ансамбля частиц в пучке. Эта величина называется матрицей плотности пучка. Разложение (Б.З) можно выразить
через р^ в виде
<Л> = 2 РяцЛцЯ.
или
<Л>=Тг(рЛ), (Б.5)
где р и А— (2 5 + 1 )Х (2s + l )-матрицы, а Тг означает след
Тг(М)=2^я.
Л
Матрица плотности введена в квантовую механику Л. Д. Ландау и фон Нейманом. К проблемам поляризации ее применили Далиц [54] и др.
Матрица плотности содержит максимальную информацию о состоянии поляризации пучка. С ее помощью можно предсказать результат любого измерения. Все измерения для двух пучков с одинаковыми матрицами плотности дают один и тот же результат.
Из определения (Б.4) следует, что р — эрмитова матрица
РЯц = РцЯ- (Б-6>
Таким образом, для определения р требуется (2 s 1)2 действительных чисел.
След
Тг (Р) = ^ ри = 2 2 Щ | с[г) |2 •
Сумма 2 wr I |2 измеряет ту часть всех случаев, когда обнаруженная
Г 1
частица находится в состоянии X, н, следовательно, сумма по X дает единицу, так что
Тг (р) = 1.
Если ввести в приведенные выше уравнения координатную волновую функцию, то Тг(р) даст интенсивность пучка. Предположим, что так оно н есть, и запишем
Тг (р) = J'. (Б.7)
Выражение (Б.5) для среднего значения А теперь следует записать в виде
<Л> = Тг (р^)/Тг (р). (Б.8)
Для проверки можно воспользоваться случаем А = >
319
§ Б.2. Матрица плотности для спина 1/2
На примере случая s= 1/2 рассмотрим свойства р. Этот случай охватывает пучки протонов, нейтронов н других барнонов. Кроме того, фотон имеет только два состояния спиральности, следовательно, для описания поляризованных фотонов достаточно 2х2-матрнцы плотности.
Для пучка частиц со спином 1/2 можно записать
f Ри Pi 2 \
мЛ \ Ри Р22 / ’
где, согласно (Б.6) н (Б.7),
Ри + Р22 = ]
(Б.9)
Р12 “ P21» P11 и Р22 — действительное число J
(удобнее использовать индексы 1 и 2, а не ±1/2). Теперь любую 2х2-эрми-тову матрицу можно разложить по спиновым матрицам Паули и единичной 2х2-матрице. Таким образом,
