Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
|d*x ехр (iPx — \Et) = (2я)4 б(3* (Р) б (Е),
найдем выражение для взаимного потока:
Ф = (2л)2~ -f (Pi) a2 (Рг) «1 (Pi) «2 (Рг) б<4) (p[ +P2 — P1— Pi) -
(A.21)
§ A.4. Сечение
При вычислении
a=(JdwyФ
с помощью выражений (A.15), (A.17) и (А.21) интеграл по амплитудам начальных импульсов исчезает и остается желаемое соотношение между элементом W-матрицы и сечением
(2я)4 р d3pcd3pd , , 11яп/
a = ' ,т? п.---- I ТГччос /о UOF 6 (Рс + Pd — Ра—Рь) I Т (PcPd, paPb) I •
4EaEbvab J (2я)3 2Ес (2я)3 2Ed
(А .22)
В § А.1 показано, что величина EaEbvab — лоренцев инвариант. Интеграл d3 р/2Е тоже является лоренцевым инвариантом, так как якобиан преобразования
р -> р' = Лр
есть просто Е/Е', что легко доказать для специального случая буста вдоль оси z:
Г d3p = Г d3p’ д (PxPyPz) | = Г &Р'
J 2Е J 2Е д (рхрург) I J 2Е’
Четырехмерная б-функция — инвариант Лоренца; лоренцева инвариантность a обсуждалась в § А.1, а инвариантность |Г|2 следует из п. 4.10.3.
316
Спннами мы уже пренебрегли. Если какая-либо из частиц имеет спин, то а и Г должны иметь характеристики спиральности, но предыдущие выводы остаются неизменными.
Четыре из шести операций интегрирования в (А.22) можйо выполнить с помощью б-функции. Для системы отсчета ц. м. находим
а =-----------— (\T\2dQ, (А 23)
64n2W* Раь ^
где Раъ и Pd — импульсы частиц в начальном и конечном состояниях, а W — полная энергия:
И7 = Еа + = Ес + .
Если Т выразить через нормированные по-иному двухчастичные состояния (4.85), то (А.23) примет вид
4я2
а =-------J|T' \2dQ. (А .24)
Pab
§ А.5. Скорости распада
Рассмотрим процесс распада
Л-*а + 6 + с+ . . . (А.25)
Число &Na частиц типа а, продетектированных за время бt, пропорционально количеству NА (/) присутствующих частиц А и бt:
6Na = rNA(t)6t. (А. 26)
Постоянная Г — ширина распада. Так как детектирование а свидетельствует
о наличии распада А, то
6Na = - 6NA
ч
6Na = — TNa (t) Ы.
Это и есть закон радиоактивности распада, который показывает, что 1 /Г является временем жизни частицы А для распада (А.25).
Для простоты написания остановимся на двухчастичном распаде А-+а + Ь. Полное число обнаруженных частиц а равно
Na = f dt = j Г N л (t) dt = Г j pA (x, t) d3xdt.
Таким образом,
Г = Na/( J pAdHdt). (A .27)
Мы ввели плотность pa частиц A.
Расчет, аналогичный расчету поперечного сечения, дает
1 (а.).^)»2Е,Сл-*-'*>Гг<Р‘-» &¦*»
г = -
2Еа J (2п)32Еа(2п)*2Е1 Для системы покоя частицы А (с. ц. м. распада) находим
Г =----——$dQ\T\2. (А.29)
32я 2пг2А
Если конечное состояние выразить через двухчастичное (4.85), то (A.29J примет вид
Г="2^7^1Г !*• <А-30>
317
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ОПИСАНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
§ Б.1. Определение матрицы плотности
Находящаяся в определенных условиях квантовомеханическая система описывается волновой функцией нли вектором состояния, и наоборот, вектор состояния содержит всю возможную информацию о системе. Иногда приходится иметь дело с системами, о которых мы не имеем полных данных. Такая ситуация обычно возникает тогда, когда мы имеем большое число N копий одной и той же системы, как, например, в случае с пучком протонов, испускаемых ускорителем. Для каждого одиночного протона мы располагаем только статистической информацией об ориентации его спина — 50% направлено вверх, 50% вниз. Квантовомеханический формализм можно распространить и на такие случаи.
Вместо вектора состояний ансамбль систем описывается матрицей плотности. Мы рассмотрим только описание с помощью матрицы плотности спиновых состояний, т. е. явления поляризации. Предположим, что все частицы ансамбля находятся в одном и том же состоянии по координате, например, все имеют один и тот же импульс к. Таким образом, все ссылки на состояние по координате опускаются.