Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
0 — ^а)~Чг = Еа!та.
Таким образом,
Ра = Р аЕа1Ма •
Следовательно,
PaPbVab = Р^аьЕаЕь/таЩ.
Это выражение можно переписать через инварианты Лоренца следующим образом: в системе покоя Ь
ЕаЕь Еа |рв| {Ма-«ХГ/2 .....
-------Vab=--------va = ------------- ---------------. (А. 11)
тать та та тать
Таким образом,
nn {(PaPbY — mffibY12
Шс = орЭД ----------------------------VT.
с а 0 тать
§ А.2. Вероятность перехода в релятивистском случае
При тех же соглашениях относительно состояний с определенным релятивистским импульсом, что и в § 4.3 [в частности, (4.45)], вероятность того, что после рассеяния импульс частицы с лежит в области (рс, Рс+^Рс), а частицы d — в области (Pd, Pd+dPd), равна
43 р d?Pn
dW = I (фрерй’ сГфрар(,) I2 (2я)3 2Ес (2я)3 2Ed ' (А• 12>
Из инвариантности относительно смещений в пространстве и времени следует сохранение энергии и импульса, что выражается равенством
(<РрЛ;. &Фр^р^) = (2Я)4 б(3) (рс + pd — Ра — Рь) X
X б (Ec + Ed — Еа — Eb)T (pcpd, РаР,,), (А.13)
где (2я)4 введено просто для удобства. Таким образом, матричный элемент слева является сингулярной величиной. Однако не следует идеализировать, считая нмпульсы в начальный момент вполне определенными. Поэтому начальное
314
собственное состояние импульса заменим суперпозицией
Г d»Pi f d?p„
T=J (2n)V. ai(pl)<Pp.J (2я)3/2(2?,)•/. а*<Р*)Фр,«
в которой амплитуды в импульсном пространстве ai(pi) и а2(Рг) имеют острый пик в точках ра и Рь соответственно. Коэффициенты определяются таким же образом, как и в § 4.3.
Согласно принципу суперпозиции, амплитуда
1
<А.И>
(2я)*
а выражение (А.12) приобретает вид
dw = \А\г ——^------------(А. 15)
(2я)»2?с (2я)з2?й
Подставив (А. 13) в (А.14) и воспользовавшись тем фактом, что «i(Pi) и а2(р2) имеют острый пик, заменим функцию Т(рсра, Р1Р2) ее значением при Pi = Pa, Рг=Рь, вынеся его за знак интеграла:
„ Г d3Pi Г dsp.2
А = 2я Т (pcpd, рарь) J ^у»77 J ?ЩЧ7 ^ a2 (Р2) б(4) (рс + Pd—Pi — Рг) ¦
(А. 16)
Здесь 6(4> означает четырехмерную б-функцию. Взяв квадрат модуля (А.16), получим
, „ I, (2lt)2 I Т (Рс Pd, Ра Pb) I2 C/4W ,
\А\2 =---------- ---------------b{ )(Pc + Pd— Ра— Pb) X *
4 ЕаЕь
X J dsp[d:tp'2d3p1d3pial (р|) a* (pj) ^ (Pi) a2 (p2) 6(4) (p[ + p'2~ Pi — Pz) ¦ (A. 17) Здесь мы воспользовались выражением
б(4) (Pc + Pd—P'i —Р2) б<4) (Рс + Pd — Pi — Рг) =
= б(4) (рс + Pd — Pi~ Pi) б(4) (р[ + Р2—Р1 — Pi) .
положив затем в первом множителе р\=ра, Рг=Ръ. Таким образом, для «i(p) и а2(р), имеющих резко выраженные максимумы, считаем Е1=Е'1~Е,1 и Е2=Е'2=Еь.
§ А.З. Взаимный поток
Соответственно функции а(р) в импульсном пространстве определим волновую функцию в пространстве—времени:
Г d3p
'l’ (х, 0 = | (2я)3/2 (|2Ер)Ч> а (Р) ехр (ip'X — lEpt)’ (АЛ8)
которая, как легко показать, будет удовлетворять уравнению Клейна — Гордона
—v2 + «2)'Hx, 0,= °-
11* 315
Определим через г)з плотность вероятности и поток вероятности
р(х, t) = i г|з
J (х, 0 = — i {г|з* (vty) — М’)*'!3) •
(А.19)
Можно доказать, что при таких определениях удовлетворяется уравнение непрерывности
др
dt +V-J= •
Для г)з, стремящейся к нулю при |х|->-оо, уравнение непрерывности можно использовать для того, чтобы показать, что вероятность сохраняется:
j d3xp (х, /) = 0.
Подставляя (А.18) в (А.19), находим, что для а(р), имеющей резко выраженный максимум, множитель Ер можно сократить. Это дает
Р (х, 0 = 2j| ' j dspdsp'a* (р') а (р) ехр [i (р — р') х — i (Ер — Ер.) /]. (А.20)
Выражение вида (А.20) дает возможность выразить р„(х, t) через ai(p) и аналогично рь(х, t) через а2(р). Подставив эти значения в определение (А.9) для Ф и вспомнив интегральную формулу
