Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Uxty(t) -= я|) (/ — т). (2.50)
В этом равенстве опущены штрихи..
Соответствующую эрмитову наблюдаемую можно определить, взяв вместо т его ннфинитезимальное значение бт и записав в первом порядке по бт:
U6x = 1 + i 6tG.
Тогда
U(,zty(t) = (1 + i6r • G) ф (t) = ф (t — бт) = ф (t) — бтдф/д/.
Здесь мы воспользовались разложением Тейлора до первого порядка по бт. Следовательно, оператор G удовлетворяет уравнению
iGiJ) = —dtyjdt, а так как H = hG, то
Яф = i Kdty/dt. (2.51)
Теперь это уравнение выглядит совершенно так же, как уравнение Шредингера для развития во времени волновой функции, и потому оператор Н можно отождествить с гамильтонианом системы.
Можно сказать, что гамильтониан Я есть инфинитезимальный
оператор, связанный с инвариантностью системы относительно
трансляций по времени:
Ux = 1 + ixH/h. (2.52)
§ 2.3. ТРАНСЛЯЦИОННАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
Применим развитые в § 2.2 концепции к частному случаю трансляционной инвариантности, обладающему некоторыми упрощающими особенностями.
2.3.1. Трансляции и импульс. Пространственная трансляционная инвариантность требует, чтобы две системы отсчета, различающиеся трансляцией г->г'=г + а, являлись эквивалентными для описания поведения системы. В нерелятивистской квантовой механике можно проверить, будет ли гамильтониан системы инвариант-
28
ным относительно преобразования (2.21), и найти соответствующие преобразования импульса. Для этого случая преобразование тривиально;
р р' = р. (2.53)
Уравнение (2.53) следует из выражения для оператора р в координатном представлении: р = — iН\.
В случае нескольких частиц уравнения (2.21) и (2.53) надо применить к координатам каждой частицы:
г,- г; = г, + а; р, -> р: = pt, i = 1, 2, 3, ... , N.
Оператор симметрии U& определяется теперь равенством
^аф(гь г2, . . . , rN) = ф (Г1 — а, г2 — а, . . . , г^ — а) . (2.54)
Следуя общим методам предыдущего раздела, будем считать
все смещения инфинитезимальными, что дает нам эрмитову наблюдаемую. Пусть ба= (0, 0, б а). Тогда с точностью до членов порядка б а
U (0, 0, 8а) ф (хи уи ги . . . , xN, yN, zN) =
= Уъ 2, — ба, . . . , xN, ух, гы — 8а)=У(хи . . . , zn) —
— б а (д^!дг1 + . . . + dtydzN) .
Пользуясь равенством
U (0, 0, ба) = 1 — i 8aPz/H, (2.55>
определяем эрмитов оператор:
Рг = У (- ihd/dzi). (2.56)
Следовательно, соответствующая наблюдаемая есть z-компонента полного импульса. Аналогичным образом можно рассмотреть трансляции вдоль других координатных осей. В более общем, виде
и6Л = 1 — i баР/Й, (2.57),
где Р = V (— №у{).
Можно найти более точное соотношение между унитарными, операторами Uа и эрмитовыми операторами Рх, Ру и Рг. Ограничимся смещением вдоль оси г и для краткости вместо U(0, 0, а) будем писать U(a).
Если за трансляцией (О, О, Ъ) следует трансляция 1(0, 0, а), та получается трансляция (0, 0, а + Ь). Отсюда
U(b)U(a) = U(b + a). (2.58)
Пусть теперь в уравнении (2.58) Ь = 8а. Подставляя выражение {2.55), получаем
U (а + ба) = (1 — \baPjU) U (а).
29
Перепишем это выражение в виде
(1/6а) [U (а + 8a) —U (а)] = — i PZU (а)Щ. (2.59)
Пусть в левой части уравнения 8а-+0, тогда получим производную dUjda оператора U(a) по скалярному параметру а. В результате соотношение (2.59) превратится в дифференциальное уравнение для U(а):
dU/da = — i PZU (a)/h. (2.60)
Если бы U(а) и Pz были обычными функциями, то мы бы сразу получили решение
U (а) — exp (— i Pza/h). (2.61)
Здесь для определения постоянной интегрирования использовалось условие ?/(0)=1. В случае операторов правая часть (2.61) есть просто сокращенное обозначение ряда
1 — (i/ft)P2a + (1/2!) (— iPza/h)2+ . . .
Можно показать, что этот ряд удовлетворяет уравнению (2.60).
Уравнение (2.61) показывает, что оператор, представляющий собой конечную' трансляцию на вектор а в направлении оси z,
можно выразить через оператор z-компоненты импульса. Понятие
оператора импульса иногда заменяют понятием генератора трансляций.
Аналогичный расчет можно проделать для трансляций вдоль осей х и у и получить формулы
U (а, 0, 0) = exp (— i aPx/h); U (0, b, 0) = exp (— i bPy/h).
Три оператора Px, Py, Pz коммутируют друг с другом. Это легко увидеть в формализме волновой механики Шредингера для приведенного выше вывода уравнения (2.56); различные пространственные координаты соответствуют этим трем случаям. Однако для противопоставления другим группам преобразований симметрии, генераторы которых не коммутируют, интересно показать, на чем основан этот результат.
