Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
изоспиновые подсостояния 2К и Лгя с 1 = 3/2. Ожидаемый результат есть
| (ВМ) 27, +1, 'Л)=(-5-)‘/,№/.-.+ (т),/,["“1-/Л-
• (10.54)
Численные коэффициенты справа называют изо скалярными, множителями в силу их независимости от квантовых чисел /3. Умножая их на коэффициенты Клебша—Гордана для изоспина, определяемые квадратными скобками справа, получаем коэффициент Клебша—Гордана для SU(3).
Изоскалярные множители действительны и равны корням квадратным из отношений целых чисел. Сумма квадратов изоска-лярных множителей в выражении вида (10.54) должна быть равна 1.
Применяя повторно эту же технику, можно найти остальные состояния супермультиплета 27. Результаты приведены в приложении Г.
272
Переходя к супермультиплету 10*, видим, что его старшее состояние с К=+ 2, /3=0 ортогонально к (10.526). Таким образом,
Как было показано, существует два октета, входящих в 8X8. Можно выбрать их так, чтобы один из них был симметричным 8Sr а другой антисимметричным 8,i* относительно замены В+±М, т. е. р^К+, 2°^я0 и т. д. для двухчастичных состояний. Эта операция проделана в таблицах приложения Г.
Таким образом, состояние [2я]оо, которое вследствие свойств коэффициента Клебша—Гордана для изоспина является симметричным, содержится в |8S, 0, 0, 0>, но не в |8А, 0, 0, 0>.
Состояния супермультиплетов 27 и 1 заведомо симметричны относительно этой операции, тогда как 10 и 10* антисимметричны.
Симметрия связей приобретает физический смысл в том случае, когда рассматриваются два одинаковых октета. Например, два октета 0~-мезонов могут быть связаны только следующим образом:
27, 8S, 1 в состояниях с моментом количества движения /=четное число;
10, 10*, 8д в состояниях с /= нечетное число.
Этот вывод следует из применения обобщенного принципа Паули к волновой функции двух мезонов, рассматриваемой как произведение части, зависящей от SU(3), и координатной части.
В заключение этого раздела дадим формальные определения коэффициентов Клебша—Гордана для общего случая [57].
Характеристики супермультиплета обозначаются ц, ца, Ць, а характеристики отдельного состояния К, /, /3 в совокупности обозначаются V.
Пусть заданы произведения состояний , образованные
из состояния двух супермультиплетов ца и ць. Состояния с определенными трансформационными свойствами относительно St/(3) задаются линейными комбинациями
где пробегает значение для всех супермультиплетов, входящих в ряд Клебша — Гордана для цаХць. Величина у помогает различить ц в случае, когда их кратность больше 1, например в случае, когда 8а и 8s входят в 8X8, а
* 8а и 8s также обозначаются в литературе как SF и 8Л.
273
Ия Ий Va V*
является SU(3) -коэффициентом Клебша—Гордана. Мы уже видели, как факторизуется коэффициент Клебша—Гордана:
На Ий
И,
На Ий
YJaYJb
Mv
YI
г11 з
ь/ I I I a 3a b 3b
(10.56)
на изоскалярный множитель и коэффициент Клебша—Гордана для изоспина.
SU(3) -коэффициент Клебша—Гордана удовлетворяет условиям ортогональности, с помощью которых можно обратить соотношения (10.55):
ф^а ф^й
2
Иа Ий
V„ Vh
Ит\ ф(^Л) ,
(10.57)
10.7.3. Применения. Самое непосредственное применение аппарат коэффициентов Клебша — Гордана находит при подсчете количества независимых амплитуд при распадах или рассеянии в теории, инвариантной относительно 5U(3) -симметрии.
Чтобы проиллюстрировать это, снова рассмотрим распады декуплетов. Амплитуды распада члена v=(Y, I, /3) супермультиплета 10 на барион vb и мезон vm задаются элементом Ь -матрицы:
VBVM,V
=<8vB, 8v„ I ИГ \ 10v>
Конечное состояние ВМ можно разложить с помощью соотношения (10.57), в котором ц пробегает значения, соответствующие супермультиплетам 27, 10*, 10, 8, 8 и 1:
3
VBVM,V
И^<(/Ш)^
ИГ | 10v>. (10.58)
Если взаимодействие инвариантно относительно SU(3), то
10v) = б.
Это соотношение выражает тот факт, что переходы могут происходить только между состояниями, принадлежащими к супермультиплетам одного и того же типа (в нашем примере 10-И0), и что матричный элемент не может зависеть от рассматриваемого частного подсостояния (т. е. от v).
Так как 10 только один раз входит в произведение 8X8, то переменная у лишняя, и амплитуды распада для всех членов декуплета можно выразить через одну амплитуду ИГ w и коэффициент Клебша—Гордана:
8 8
VBVm
,ov
У ю,
V j
274
При распаде октета барионных резонансов на две частицы
Bg -> В% -j~ ,
такие, как 1/2- или 3/2*', распад задается двумя амплитудами f ел и ?Гes из-за двойного вхождения 8 в произведение 8X8.
В случае распада мезона число амплитуд сокращается благодаря действию обобщенного принципа Паули.
