Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
8 X 8 = 27+ 10*+ 10 + 8 + 8+ 1. (10.49)
Этот набор называется рядом Клебша—Гордана для произведения двух октетов.
Произведение состояний |ВМ> можно характеризовать значениями (Y, /з) для В и М или полными Y и /3:,
У = У в -{-Ум', /3 = he + 1зм ¦
В весовых обозначениях состояние |ВМ> имеет полный вес
8 = 8д + бдг •
64 варианта веса произведения состояний получаются простым векторным сложением всех возможных пар gB и gM- Систематический подход к этой операции заключается в следующем. Возьмем весовую диаграмму октета М и поместим ее начало (0, 0) в каждый вес диаграммы октета В, каждый раз отмечая положения весов М. Отмеченные точки соответствуют векторам g. Весовая диаграмма, полученная таким путем, показана на рис. 10.16.
269
-©--------©-
© © ©
-©—©—-
© © ©
Рис. 10.16. Приведенная весовая диаграмма для 8X8. Числа означают кратности
Рис. 10.17. Промежуточная весовая диаграмма для редукции 8X8. Удалены состояния супермультиплета 27. В — старшее состояние в оставшейся части
Чтобы найти содержащиеся в ней неприводимые супермульти-плеты, определим старший вес (на диаграмме вес А). Это старший вес супермультиплета 27 (см. рис. 10.13, в), о присутствии которого он свидетельствует. Следовательно, удаляя соответствующие 27 весов, получаем весовую диаграмму (рис. 10.17). Опять определим старший вес. Он соответствует супермультиплету 10*. Затем удалим соответствующие 10 весов. В следующий раз вместо супермультиплета 10 мы удалим 8 весов дважды и окончательно получим 1 в начале координат. Таким путем мы приходим к (10.49).
Описанная здесь техника — самая общая, и ее можно использовать для того, чтобы редуцировать произведение любых двух (или более) супермультиплетов на их неприводимые составные части. Читатель может сам убедиться в том, что справедливы следующие разложения:
10 X8 = 35 + 27+ 10 + 8; (10.50а)
3X3* = 8+1; (10.506)
3X3 = 6 + 3*; (Ю.50в)
3X3X3 = (6 + 3*) X 3 = 10 + 8 + 8+1. (10.50г)
Супермультиплет 35, входящий в уравнение (10.50а), имеет стар-
ший вес, У=+ 2, /3= + 2 и след5гющую структуру мультиплета /-спина: {К, /}^{ + 2, 2}, {+1,5/2}, {+1,3/2}, {0,2}, {0,1},
{-1, 3/2}, {-1, 1/2}, {-2, 1}, {-2, 0}, {-3. 1/2}.
10.7.2. Коэффициенты Клешба—Гордана, Следующая задача— определить коэффициенты Клебша — Гордана. Метод совершенно аналогичен тому, который был использован в гл. 3 для определения коэффициентов Клебша — Гордана для момента количества движения. Этот процесс прямой, но утомительный, поэтому ограничимся лишь краткими комментариями, а в заключение укажем, как использовать результаты. Определим операторы сдвига ,(см. уравнение (3.96)]:
/_ = /*_+/*_; (10.51а)
U- = Uв- + UM- • (10.516)
Старший вес диаграммы рис. 10.16, очевидно, является суммой старших весов двух составляющих супермультиплетов. Так как соответствующие состояния единственны (теорема о старшем весе), то и произведение состояний со старшим весом тоже единственно.
Таким образом, в нашем примере старое состояние супермультиплета 27 есть |р+К+> с К=+ 2, /3= + 1, /= 1. Запишем его в виде
| (ВМ) 27, Y = + 2, / = 1, /3 = + 1> = | р+К+у. (10.52а)
Применив оператор /_, соответствующий формуле (10.51а), к
обеим частям этого равенства, слева получим другое состояние 27, так как операторы сдвигов связывают лишь состояния в одном
.271
и том же супермультиплете. Справа на состояние В(М) действует оператор 1В~(1М-), так что получаем
2'1г\{ВМ)21, -f- 2, 1, 0)= | л°/С+>+ | р+К°у. (10.526)
Число 21/2 слева является как раз матричным элементом (3.47) оператора /_ между состояниями с 1=1. Таким путем мы только что получили состояния NK с 1=1, Y=+2. Вторичное применение оператора 7_ дает
| (ВМ) 27, +2, 1, — 1 > = | п°К°у. (10.52в)
Уравнения (10.52а) — (10.52в) можно объединить следующим образом:
| (ВМ) 27, +2, 1, /,>=№,,.
Правая часть этого уравнения символизирует состояние нуклона и /С-мезона с полным изоспином 1=1 и третьей компонентой /з.
Чтобы получить другие значения Y, надо использовать t/_ из формулы (10.516). Для того чтобы получить общие формулы, необходимо знать матричные элементы t/_ относительно состояний, входящих в супермультиплет (см., например, работу [18]). Здесь мы просто сошлемся на результаты без всяких доказательств. Оператор t/_, примененный к (10.52а), дает
2Ч‘ | (ВМ) 27, + 1, + -j-y = | 2+ К+У + | р+ п+у. (10.53)'
При этом использованы формулы
Ub- | Р+У - | 2+>, UM~ | К+У = | я+>.
Оператор /-, примененный к (10.53), просто генерирует другие
