Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
1+
электромагнитное взаимодействия выключены, все восемь _~_-
барионов будут вырождены по массе. При этом наше предположение о подразделении октета на изоспиновые мультиплеты с определенным гиперзарядом не очевидно. На математическом языке это можно представить так: вместо того чтобы характеризовать состояние с помощью /з и Y, воспользуемся
UB = -^fs + yY (Ю.32)
и
Q = i3+Yy¦ (10-33)
Как уже отмечалось выше, операторы t^-спина U3, U+ подчиняются тем же самым коммутационным соотношениям, что и /3,
* Читатель, знакомый с теорией групп, может быстрее сделать этот вывод с помощью тензорных операторов и теоремы Вигнера—Эккарта.
9* 259
/± или /з, /±. Следовательно, к ?/-спину можно применить весь аппарат момента количества движения.
В случае точной SU (3)-симметрии можно с одинаковым правом классифицировать состояния 5?/(3)-супермультиплета с помощью Q, 03 и собственного значения U(U+1) полного 6^-спина
U* = U\ + Ul + Ul где Ux и 6^2 определяются соотношением
u± = u1± iиг.
Далее, так как Q коммутирует с 6^-спином, то состояния мульти-плета по Оспину обладают U3, пробегающими значения от —U до + U. При этом все состояния имеют одинаковый заряд Q.
Необходимо связать две схемы задания состояний с помощью значений (U, U3, Q) и (/, /3, У). Обычно это делается легко. Если вес имеет кратность 1, то соотношения (10.32) и (10.33) дают значения U3 и Q. Отсюда часто можно получить значение полного ?/-спина. Таким образом, в барионном октете р и 2+ имеют
(Q, Uz) = 1, + и 1,-------------—^ соответственно, образуя
мультиплет с ?/=*/2. Частицам п и 2° соответствуют (0, +1) и (0, —1), а 2° и А0— (0, 0). Однако состояния, отвечающие началу координат и имеющие определенный полный ?/-спин, являются суперпозицией состояний 2° и А0 с определенным I. Такие суперпозиции обозначаются 2^ и Л^в зависимости от того, U= 1 или ?/=0, и могут быть определены следующим образом. Предположим, что состояние с U=l, U3 = 0 есть
I 2cr) = \U = 1, ?/3 = 0> = а] 2®> + р|Л«>, (10.34)
где а2 + Р2=1, так как все символы |> нормированы. Далее мы убедимся, что аир можно выбрать так, чтобы они были действительными.
Нейтрон имеет U3 = 1 и должен принадлежать триплету с U— 1, поэтому, применяя понижающий ^/--оператор U-спина, получаем
U_ | я> = 2‘Л | 2°и).
Аналогично для триплета /= 1
7_ | 2+) = 2Vi | 2°).
В этих уравнениях число 21/2 является матричным элементом U_ (или /_), полученным из (3.41) и положительным при наших условиях.
Взяв скалярное произведение последних двух уравнений, получим
2<2° | 2?,) = <2+ | I±U_ | я) = <2+ | I+U- | я) =
= <2+|гу_/+|л> = <р|р> = 1.
260
Здесь мы использовали тот факт, что 1+ и U_ коммутируют друг с другом
Ортогональная линейная комбинация дает состояние А.°и:
Положение знака минус здесь произвольно. Эти результаты справедливы и для любого октета.
В случае такого треугольного супермультиплета, как изображенный на рис. 10.13 супермультиплет 10, кратность весов равна 1 и состояния можно прямо перегруппировать в мультиплеты U-спина. На рис. 10.8—10.13 мультиплеты U-спина обозначены штриховыми линиями.
10.5.3. Массовые формулы. Польза от U-спина при рассмотрении нарушения симметрии заключается в том, что мультиплет по ?/-спину содержит состояния с разными (К, /), следовательно, в отличие от мультиплета по /-спину, содержит эффекты взаимодействий, нарушающих симметрию.
Нами уже выдвинут постулат о том, что Яум. сильн преобразуется подобно Y, и так как
то, значит, Яум. сильн преобразуется подобно суперпозиции U3, т. е. компоненте вектора U= 1 и скаляра Q в пространстве 6^-спина. Представим это следующей формулой:
Подобно теории возмущений первого порядка, поправки к энергиям или массам членов октета будут даваться средними значениями возмущения. Таким образом,
Переходя к характеристике с помощью ?/-спина, рассмотрим триплет U= 1
I S&) = у | 2») + -L . з1'- | Л°>. (10.35)
|A&> = —L.31'* I s«> —1-1 л®>.
(10.36)
Y=U3 + ^-Q
2
и
[QU] = о,
я.
ум.сильн
ум.сильн •
(10.37)
-- (р | Яум.сильн | ру
(10.38)
И т. д.
(п’Т2°+ Т'з1/2Л°’ s°)-
261
Итак, мы должны вычислить величину
{U = 1, из | //ун.с„ль„ \U=l, U3)= <1, из | Яу(м5)с„ль„ | 1, изУ +
+ <1, ^3 I Я^снльн | 1, из>.
Среднее значение величины Яум. сильн, скалярной относительно ?/-спина, не может зависеть от U3, так что
<1, иг | Я'Йольв I 1, U3> = a.
