Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
где U — оператор преобразования, соответствующий (2.20). В случае преобразований, затрагивающих и временную координату (сюда входят как преобразования Лоренца, так и обращение времени), соответствующий оператор U не коммутирует с Я. Однако эти преобразования симметрии приводят к ограничениям на вид Я- и 5-матрицы (см. гл. 4 и 6).
Для используемых ниже преобразований симметрии характерно то, что они образуют семейства или группы преобразований. Это объясняется тем, что мы часто имеем не две, а несколько эквивалентных систем отсчета. Так например, трансляционная инвариантность заключается в наличии бесконечно большого числа эквивалентных систем отсчета, отличающихся только выбором начала координат. В этом случае мы имеем множество преобразований вида (2.21), параметры которых (ах, ау, az) принимают любые значения. В общем случае семейство преобразований характеризуется несколькими параметрами аь а2, ..., ап, совокупность которых мы обозначим просто а.
Общее преобразование запишем в виде
Здесь буквой I обозначена совокупность всех координат сразу.
Чтобы определить, образуют ли преобразования (например, множество всех трансляций) группу, достаточно установить, что это семейство обладает определенными свойствами, которые с математической точки зрения являются аксиомами, характеризующими любую группу вообще.
В настоящей книге мы не будем явно использовать формальный аппарат теории групп. Однако многие рассматриваемые здесь положения представляют собой специальные случаи этой теории, поэтому время от времени мы будем делать краткие замечания по поводу терминологии.
Рассмотрим три эквивалентные системы отсчета 2, 2' и 2". Пусть происходит преобразование координат от ? к
и ни-1 = Я,
(2.32)
1^1' =ТЛ;).
(2,33)
(2.34)
и от I' к
(2.35)
24
Подставляя (2.34) в (2.35), получаем уравнение преобразования, связывающее и ?" = Гр [Га (?)], которое записывается в виде
I" = П Tail). (2.36)
Это составное преобразование называется произведением преобразований Тр и Га. С другой стороны, так как 2 и 2" — эквивалентные системы отсчета, существует уравнение преобразования, непосредственно связывающее | и для некоторых соответствующих значений параметра у:
Г = Туа). (2.37)
Из уравнений (2.36) и (2.37) следует, что
Тч = Т^Та. (2.38)
Таким образом, получена первая аксиома группы.
Аксиома 1. Произведение любых двух преобразований семей-
ства также принадлежит к этому семейству.
Остальные две аксиомы группы в этом случае выполняются тривиально.
Аксиома 2. Существует тождественное преобразование |' = ?, которое само принадлежит к семейству преобразований, т. е. при некотором значении ао параметра а выполняется равенство ?' = = ?’«„(?) =1- Обычно всегда можно сделать сю = 0, как, например, в случае трансляции (2.21).
Аксиома 3. Для каждого преобразования ^' = Та(^) обратное ему преобразование % = также принадлежит к семейству
преобразований, т. е. для соответствующих параметров а выполняется равенство Т^1 = Т- .
Например, обратная трансляция Тах, а , аг
1х' = х + ах,
У' = У + ау, z' — z + az
представляет собой трансляцию Т_а , _а , _а . Далее, каждому
х у Z
преобразованию координат Та соответствует оператор преобразования волновых функций, который мы обозначим Ua ¦ Рассмотрим преобразование волновой функции при преобразовании координат Та от системы отсчета 2 к системе 2' и затем при преобразовании Гр от системы 2' к системе 2":
1' = ТаЦ)-, !>'= ?/«!>; (2.39)
Г = ЩП (2-40)
Волновые функции ф" и ф связаны с соотношением ?" = Ту (?), = Uv г[). Комбинируя уравнения (2.39) и (2.40), получаем
? = ПТа®; r = Ui ?/«!>. (2.41)
Таким образом, для любой ф
г|э" = = t/р^аф
и, следовательно *,
Uy = UfiUa. (2.42)
Итак, мы показали, что произведению двух преобразований координат соответствует произведение унитарных операторов преобразований. Множество операторов Ua образует группу операторов в гильбертовом пространстве состояний. В силу соответствия между равенствами (2.42) и (2.38) говорят, что множество Uа. образует представление группы симметрии системы унитарными операторами.
В случае преобразования четности (2.23) существуют всего две эквивалентные системы отсчета: исходная и обращенная. Соответственно есть только одно нетривиальное преобразование симметрии Р (2.23). Это и тождественное преобразование образуют группу симметрии. Параметр, характеризующий это преобразование, принимает только два дискретных значения. Такая группа называется дискретной группой симметрии.
