Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
* Это аналогично той роли, которую играет квантовое число / полного изоспина, являющееся наибольшим значением /з в мультиплете по изоспину.
249
10.3.4. Супермультиплеты низкой размерности. Рассмотрим
теперь некоторые простейшие супермультиплеты, разрешенные выведенными нами правилами.
Заменим оператор М гиперзарядом, связанным с ним соотношением
М
— • 3 4.Y..
2
Оператор М был использован нами потому, что позволял вскрыть естественную симметрию весовых диаграмм. Чтобы сохранить эту симметрию, удобно использовать для осей У и /3 разный масштаб.
1. Простейший супермультиплет состоит из одного состояния |0> с нулевым весом. Таким образом,
.У = /з = 0-
Поскольку это состояние находится на пересечении всех трех линий отражения, то теорема об отражении не требует существования никаких дополнительных состояний. Все шесть операторов сдвига, примененные к состоянию |0>, дают нуль:
/±|0>:= u±\oy = V±|0> = 0,
так что никакие дополнительные состояния не возникают.
Ясно, что состояние |0> соответствует 1 = 0.
3: Наименьший нетривиальный супермультиплет состоит из трех состояний. Веса этих состояний лежат на линиях отражения (рис. 10.8).
М
УгГ*
О
Y
\2> 1/з
~1/2 \
\
\
-2А
11>
-h1/2
Рис. 10.8. Весоьая дьаграмма супермуль-тиьлета 3
Теорема об отражении выполняется. Старшее состояние есть 11 >, так как оно удовлетворяет соотношениям
/+11> = ?/+|1> = У_|1> = 0 П0.24)
U- | 1 > = 0.
(10.25)
250
Определим состояние |2> с помощью соотношения
/_ |1> = |2>. (10.26)
Так как состояние |2> можно получить из старшего состояния путем отражения Ри никакого другого состояния -слева нет, так что
/_|2> = 0.
Состояния 11 > и |2> образуют изоспиновый дублет и
| 2> = | 1 >. (10.27)
Третье состояние можно определить соотношением
?/_| 2> = |3>. (10.28)
В уравнениях (10.26) — (10.28) мы обобщили фазовое условие Кондона — Шортли следующим образом *.
Фазовое условие: будем считать, что матричные элементы операторов сдвига /± и U+ относительно состояний супермультипле-
та действительны и положительны.
С помощью коммутационных соотношений находим
?/+|3> = |2>; V+|l> = |3>; V_|3> = |1>.
Например, с помощью (10.25) получаем
t/_ | 2> = ?/_/._ | 1 > = IJU-11 > + V+ | 1 > = V+ | 1 >.
Несмотря на то что собственные значения /3 ^0, + под-
ходят для обычных частиц, собственные значения Y
не подходят. Это объясняется идентификацией (10.12), но не должно нас беспокоить, так как в пользу октетов существует больше эмпирических доказательств, чем в пользу триплетов. В гл. 11 мы еще вернемся к супермультиплетам с дробным Y.
Во введении отмечалось, что развитая здесь алгебра SU(3) подходит также и для модели Сакаты. В этой теории идентификация М вместо выражения (10.12) имела вид
М = -1- • З1/. (s + -L в) (Саката). (10.29)
Здесь В — барионное число; S—странность. Таким образом, странности изодублета и изосинглета равны 0 и —1 соответственно, так что (р, п) и А могли бы иметь место в этой схеме.
3 *: Существует второй супермультиплет размерности 3, весо-
* Это условие отличается от условия де Сварта [57], требующего положительности матричных элементов для /± и V± (т. е. для KV в обозначениях де Сварта). Минусы в коммутационных соотношениях (10.14) одновременно исключают положительные матричные элементы для всех шести операторов сдвига. Причина нашего выбора заключается в желании облегчить использование (/-спина (см. приложение В).
. 251
вая диаграмма которого показана на рис. 10.9. Этот случай отличается от случая изоспина,, где существует единственный мульти-плет заданной размерности.
Из диаграммы можно видеть, что собственные значения Y отличаются от собственных значений супермультиплета 3. Это значит, что с помощью унитарного преобразования базисных состояний вида
|3» = 5] иат\3,т) (10.30)
т~[
невозможно перевести одни состояния в другие: в случае преобразования (10.30) операторы- подвергаются преобразованию подобия
Y-+Y' = UYU~l.
