Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
I с>з = V+I+ | Ь). J
Однако из перестановочных соотношений (10.14) следует, что они независимы-
V+1+ I b> 1+V+ I Ь> = U— | Ь>,
246
а из предположения, что вершина х не занята, следует
/+|Ь> = 0,
так что
Iс) = I с>2 = | с), = U- | b>. (10.21)
Нетрудно показать, что любую другую цепочку операторов сдвига, примененную к подходящему состоянию для того, чтобы генерировать состояние с весом с, можно свести к одному из видов (10.20) с помощью перестановочных соотношений (10.14). Значит, с имеет кратность 1.
Предположим затем, что вершина у занята. Тогда по только что показанной единственности состояние |с>, определенное уравнением (10.21), можно получить с помощью формулы
/_|у> = Я|с>, (10.22)
где л — подходящая нормировочная постоянная.
Взяв скалярное произведение последних двух уравнений, получим
Я<с|с> = <у|:(/_)+ и_\ъу = <у|/+г/_|Ь> = <у\?У._/^|Ь> о,
поскольку вершина х не занята.
Так как <Сс|с> >0, мы показали, что л=0. Следовательно, согласно (10.22), наше первоначальное предположение о том, что вершина у занята, ошибочно.
Таким образом, граница весовой диаграммы между g-иакс и Ч — прямая линия и каждый из весов на ней имеет единичную кратность. Аналогичный аргумент применим и к другим линиям границы. Результат показан на рис. 10.4. В определенных случаях граница вырождается в треугольник.
10.3.3. Кратности и характеристика состояний. В п. 10.3.2 было показано, что веса на границе имеют единичную кратность; оста-
ется определить кратность внутренних весов. Снова начнем со старшего вес а. Из рис. 10.6 видно, что состояния
-I— 1 а, 8макс^> ^+1а>§максХ I а> ймакс) (10.23)
не могут быть всё равны нулю, если ?Макс — не единственный вес супермультиплета.
247
Состояния С весом gMaKC + V можно построить следующим образом:
V-т 1 ёмаксХ I—| СС, ёмаксХ I— [ ОС, ёмаксХ
Они не являются линейно независимыми, так как, согласно (Ю.14),
1—И— | бмако) U —1 — j 2Мако) = I 8максХ
Таким образом, имеется самое большое два независимых состояния с весом g + v. Таких состояний именно два, если не равны нулю /_ | gMaKc> ИЛИ U— | &макс>, В противном случае существует лишь одно такое состояние.
Слой 1
Рис. 10.7. Супермультиплет 81 с указанием его слоев.
Внутри штриховой линии все состояния с определенным Л! смещены и сгруп* пированы в мультиплеты по пзоспину с 1 = 1/2, 3/2 и 5/2
Применяя далее технику этого и предыдущего разделов, получим следующие результаты.
В обозначениях рис. 10.7 граничный слой (слой 1) состоит из весов кратности 1; в слое 2 кратность каждого веса равна 2 и т. д., пока не достигнем слоя, имеющего вид треугольника. Внутри этого треугольника и на его границе кратность постоянна. Таким образом, изображенный на рисунке супермультиплет состоит из
248
81 состояния. В особом случае, когда два состояния из (10.23) равны нулю, граничный слой 1 представляет собой треугольник, а все веса имеют кратность 1.
В общем случае несколько состояний имеют один и тот же вес, т. е. одинаковые пары собственных значений /з и M(Y), поэтому для того чтобы различить их, нужны дополнительные характеристики состояний. Такой характеристикой является, например, квадрат полного изоспина
/а = — Г/_/_ Ч- /_/--) -г /з,
о
коммутирующий И С /3, и с M(Y).
В результате мы классифицируем состояния с фиксированным значением M(Y) по изоспиновым мультиплетам. Это показано символически на рис. 10.7. Самое правое состояние а имеет /з=+5/2 и принадлежит мультиплету /=5/2. Состояние /_|а> также имеет / = 5/2, в то время как линейно независимое состояние в этой вершине имеет 7 = 3/2. Применение /_ к двум этим состояниям дает два состояния с с /3= + 1/2 и /=5/2 и 3/2 соответственно. Оставшееся третье состояние должно иметь / = 1/2. Из этого примера и правила для кратностей видно, что одного добавочного оператора Р достаточно для того, чтобы характеризовать все состояния однозначно.
Наконец, охарактеризуем мультиплет в целом. Можно доказать, что супермультиплет однозначно определен, если задан его старший вес. Следовательно, для определения супермультиплета можно использовать два квантовых числа, характеризующих
ёмакс .
Часто супермультиплет характеризуют двумя целыми числами: супермультиплет (р, q) есть супермультиплет, старший вес которого задается формулой
v =y(p + 2q); /а = -?-р;
•его размерность есть
и (р, я) = y (р + !) (я + Ц(р + я + 2).
Таким образом, супермультиплет 3 есть (1,0), 3* есть (0, 1), 8 есть (1, 1) и т. д. Числа р и q равны также длинам смежных сторон весовой диаграммы, т. е. 81 на рис; 10.7 соответствует (5, 2).
Тот факт, что для однозначного определения супермультиплета SU(3) требуются две характеристики, является важным моментом. Однако на практике используется как наиболее информативное полное число состояний или размерность. Неоднозначности, которые при этом могут возникнуть, легко устранимы.
