Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
* Когда это необходимо, собственные значения 1з и М для ясности будут-записываться в виде i3 и т.
243;
hPi 1 a, g> = — P J3 \«, g> = — hPi 1a, g>
и
MP\ | a, g> =- PiM | a, g> = mPi \ a, g>.
Наконец, состояние P\ |a, g> не может обращаться в нуль, поскольку оператор Pi сохраняет нормировку состояния.
Теперь вес состояния Р i |a, g> может быть получен из веса состояния |a, g> геометрически, путем отражения относительно линии, перпендикулярной осн /3 (т. е. осн М). Аналогично определим оператор
Ри = ехр (— mU2),
который изменяет знак собственных значений U3, но оставляет неизменным Q, поскольку Q коммутирует с операторами U-спина. Геометрически это соответствует отражению относительно линии, перпендикулярной и, как показано на рис. 10.2. Наконец,
Р у = ехр (— шК2)
генерирует отражения относительно линии, проходящей под углом 120° к предыдущим двум линиям.
Возникающая в результате решетка возможных весов с гексагональной симметрией и с действием операторов сдвига показана на рис. 10.3.
Рис. 10.2. Линии зеркальной симмет- Рис. 10.3. Действие операторов сдви-рии, ассоциированные с Р,, Ри и Pv га на решетке весов
10.3.2. Старший вес супермультиплета. Так как предполагается, что супермультиплет конечен, то старший вес (и старшее состояние) можно определить как вес с наибольшим значением М, и если имеется несколько таких весов, то вес с наибольшим значением /3 среди них.
Можно было бы ожидать, что существует несколько различных состояний с одним .старшим весом, но это запрещено следующей теоремой.
244
Теорема о старшем весе. Старший вес супермультиплета имеет единичную кратность. Эта теорема имеет прямое доказательство, но требует некоторых предварительных определений, не необходимых в дальнейшем, так что мы опустим это доказательство и отошлем интересующихся к лекциям Рака [149].
Закономерности, ' выраженные сформулированными выше тремя теоремами, почти достаточны для определения структуры весовой диаграммы общего супермультиплета и, следовательно, собственных значений h и М состояний, входящих в этот супермультиплет.
Рис. 10.4. Типичная весовая диаграмма.
Пустые кружки указывают возможные веса, которые исключаются способом, описанным в тексте
Рассмотрим весовую диаграмму, показанную на рис. 10.4. Применение оператора отражения Р> к старшему состоянию |ct, gManc> дает состояние с весом р. Так как оператор Pi унитарен, он сохраняет число состояний, и, следовательно, кратность веса р равна кратности веса gMai;c, т. е. равна единице.
Аналогично операторы Ри и Pv дают веса q и г, а примененный затем оператор Р-, дает веса s и t. Кратность всех этих весов равна единице.
Зададим теперь вопрос: может ли существовать вес к, соответствующий состоянию /_|ct, р>? Ответ отрицателен, поскольку если бы такой вес существовал, оператор Р\ давал бы вес I, что противоречит предположению, что вес gMaKC является старшим.
Аналогично веса q, г, s и t являются крайними весами в том смысле, который следует из приведенных выше рассуждений.
245
Это можно выразить в терминах операторов сдвига. Заметим,
ЧТО ДЛЯ ё’макс
7+ I «, ёмакс) = U+ I а, 8макс>]= У- I «, 8макс>,’= (Ю.19а)
аналогично для р и q . f
Ма, р> = ^+К р> = ^- Кр> = °; (Ю.196)
1+\а, q> = U-\ct, q> = К_|а, q> = 0. П0.19в)
Повторное применение оператора /_ к |ct, gMaKc> генерирует
цепочку состояний с весами, указанными на рис. 10.4. Этот процесс должен привести к весу р и, согласно (10.196), на этом закончиться. Если бы это было не так, то композиция сдвигов и отражения генерировала бы бесконечно много состояний. Аналогичные рассуждения для цепочки, генерируемой операторами U_ и
• #9 макс
Рис. 10.5. Доказательство того, что границы весовых диаграмм — прямые линии, проведенные между крайними весами
V+, приводят к выводу, что решетка расположена относительно начала координат так, что линии симметрии относительно отражений проходят через веса или посередине между весами.
До сих пор аргументы не исключали вес z. Теперь мы покажем, что граница между ймакс и q — прямая линия.
Рассмотрим ситуацию, показанную на рис. 10.5, где gMaKC— старший вес. Покажем, что если вес b имеет кратность 1 и вершина х не занята, то вес с имеет кратность 1, а вершина у также не занята. Этот результат можно использовать для того, чтобы продвигаться вниз по диагонали, начиная со случая, когда вектором b является крайний вектор gMai.r, для которого исходное условие выполнено, и кончая вектором q.
Чтобы ‘показать, что весу с соответствует лишь одно состояние, заметим, что вес с можно получить следующими способами:
I c>i = 1 ь>; )
|с>2 = /+К+|Ь>; (Ю.20)
