Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Q = l3 + ±Y = la+3-'/.M, (10.16)
и все три оператора И-стпа коммутируют с Q:
¦[U±,Q] = 0; [U3, Q] = 0,
что легко доказать. Позднее мы используем эту аналогию между ^/-спином и изоспином.
Если положить
K8 = --i-/s—L. ЗЧ.М, (10.17)
то V+, V- и V3 образуют операторы К-спина, но они не так важны.
Заканчивая этот параграф, напомним читателю, что существуют и другие способы характеризовать генераторы.
241
§ 10,3. СУПЕРМУЛЫИПЛЕТЫ SU(3)
Наша первая задача состоит в определении неприводимых супермультиплетов, разрешенных SU (3) -симметрией. Неприводимость означает, что все состояния данного супермультиплета можно получить повторным применением генераторов к какому-либо одному состоянию. В дальнейшем под супермультиплетом мы будем понимать неприводимый супермультиплет (если противное не оговорено).
Для некоторых целей удобно рассмотреть конечные преобразования группы SU (3). В этом случае неприводимый супермультиплет состояний образует базис унитарного неприводимого представления группы SU(3). Такой подход описан, например, в работе [57].
Тензорный подход к SU(3) также подчеркивает конечные преобразования SU(3) и описан в работах [48, 49, 129]. Мы
предпочитаем подход, использующий операторы сдвига, принципы которого аналогичны случаю момента количества движения.
10.3.1. Веса и решетка весов. Мы видели, что из восьми операторов лишь /s и M(Y) коммутируют друг с другом. Следовательно, их можно одновременно привести к диагональному виду. Таким образом, состояния будут характеризоваться собственными значениями этих двух операторов. Так, в обозначе» пнях G=(/3, М) для любого состояния имеем
GK О - §!«, О, (Ю.18)
где собственные значения /3 и М записаны в векторном виде, а а обозначает все остальные квантовые числа, необходимые для определения состояния. Вектор g называется весом, а состояние Ja, g> представляется точкой, положение которой задается на весовой диаграмме вектором g.
Предположим,. что достаточно рассмотреть супермультипле-ты, состоящие пз конечного числа состояний. Можно показать математически, что все унитарные неприводимые представления SU (3) конечномерны.
Супермультиплет определяется заданием всех весов состояний, входящих в него, и кратностей каждого веса, т. е. числом различных состояний с данным весом. Вся эта информация содержится в весовой диаграмме супермультиплета.
Смысл операторов сдвига 1±, U± и V± можно понять с помощью соответствующих вспомогательных векторов и и v, лежащих на весовой диаграмме, из следующей теоремы.
Теорема о сдвиге. Пусть дано состояние | ос, g> веса g, тогда состояние /+|а, g> или равно нулю, или является состоянием того же супермультиплета веса g+i. Аналогично состояние /_|а, g>, если не равно нулю, имеет вес (g—i)) U±|a, g>, если не равно нулю, имеет вес (g±u); K+|a, g>, если не равно нулю, имеет вес (g±v).
242
Все эти соотношения доказываются одинаково. Доказательство. Из (10.14в) имеем
GU+ = U+ (G + и>. '
Применим это операторное уравнение к состоянию |а, ?>.-Ис~ пользуя (10.18), получаем
GU+1 a, g> = U+ (G + и) | а, g> = (g + u) U+ \ а, g>.
Следовательно, если предположить, что состояние U+\a, g> от» лично от нуля, оно будет иметь вес g+u и по определению неприводимости находиться в том же самом супермультиплете, что и I СЕ, g>.
Нетрудно видеть, что состояние U+\a, g> обладает собственными значениями /3-------— и М + —• З1/*. Таким образом,,
оператор сдвига U+ переводит состояние с весом g в состояние с весом g + u. Отсюда и происходит термин оператор сдвига.
Легко определить действие цепочки операторов сдвига в об-шем случае. Например, состояние
г/_к_г/+/_ |a,g>
имеет вес
g — i + u — v — u
(при условии, что это состояние отлично от нуля).
Теорема о сдвиге вместе с гексагональной симметрией i, и № v показывает, что веса состояний супермультиплета образуют гексагональную решетку.
Переходим теперь к рассмотрению следующей теоремы. Теорема об отражении. Весовая диаграмма супермультиплета симметрична при отражениях относительно трех линий,, проходящих через начало координат и перпендикулярных и,
И V.
Доказательство (для i). Оператор
Pi = ехр (— ш/2)
обладает свойствами
рг1/ р. —__/ •
Г1 J3— J3>
рг'мр, = м
и унитарен:
PtPi=\.
Первое свойство доказано в приложении В, посвященном G-чет* ности, второе следует из того факта,, что /г коммутирует с М.
Пусть теперь дано состояние |се, g>, тогда состояние-Р | се, g> принадлежит тому же супермультиплету и обладает-собственными значениями (—/3, М) *:
