Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Это приводит нас к октетной модели или «восьмеричному пути», предложенному независимо Гелл-Маном и Нейманом. По аналогии с моделью Сакаты в основу нашего подхода можно положить постулат об основном триплете частиц или полей, на который действуют преобразования SU (3). Эти частицы — кварки или «тузы». Наблюдаемые физические частицы образованы из кварков и (или) антикварков. Однако сначала предпочтительно придерживаться более консервативной, абстрактной точки зрения. К модели кварков мы вернемся в следующей главе. Эта модель при более сильных предположениях приводит к дополнительным предсказаниям.
По SU(3)-симметрии и ее применениям имеется огромное количество обзорных статей. Им целиком посвящены работы [39, 92]. Работа Гелл-Мана и Неймана [87], содержащая ряд оригинальных статей, является полезным дополнением. Приведенные здесь основы теории являются частным случаем теории алгебр Ли и их представлений, развитым Картаном и Вейлем и описанным Рака [149], Берендсом и др. [19].
В других обзорах Берендса [18], Бермана [23], де Сварта [57], Метьюза [136] и Я. А. Смородинского [163] описаны другие под-
236
ходы, техники расчета или применения которых мы здесь касаться не будем.
§ 10.2. КОНСЕРВАТИВНЫЙ ПОДХОД К SU(3)
Если использовать лишь общие принципы симметрии в квантовой теории (см. § 2.2), можно подойти к SU (3) консервативно, т. е. обойти вопрос о том, на какой объект действует ЗХ 3-преобразование А.
Как показано в п. 2.2.3, каждому преобразованию Т группы симметрии должен соответствовать унитарный оператор 0(Т), действующий в пространстве состояний частицы. Для инфинитези-мального преобразования Т оператор U (Т) принимает вид
6 = 1 + i eG,
где G—эрмитов генератор. Инвариантность системы относительно группы симметрии выражается для каждого Т уравнениями
U{T)HU{T)~l=H и [G, Н] = 0,
где Н — гамильтониан.
Запомнив это, выдвинем следующий постулат: существует набор унитарных операторов U(А), действующих на состояния частицы, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с матрицами А группы 5(7(3) и удовлетворяют правилу перемножения
?/(Аа)г/(А1) = ?/(АА).
Инвариантность сильного взаимодействия относительно этой группы выражается соотношением
и{\)Н№ПЬпи{к)-'=Новта. (10.3)
Физическая идентификация производится путем рассмотрения инфинитезимальных преобразований.
Унитарную ЗхЗ-матрицу, отличающуюся инфинитезимально от единичной матрицы, можно записать в виде
A=l + ieM, (10.4)
где М — эрмитова ЗхЗ-матрица
М= М+.
Величинами порядка в2 здесь пренебрегли. Условие
det(A)= + l (10.5)
удовлетворяется, если
Тг (М) = 0, (10.6)
так как матрицу (10.4) можно записать с точностью до первого порядка по е в виде
А = ехр (ieM).
237
Теперь общую эрмитову Зх3-матрицу с нулевым следом можно параметризовать следующим образом:
’ аъ + 2>-'! ал — \а0 а± — ia*
«1 + ia2
М
ai — i a2
- а3 + 3
1 a.
.04+ Й»в
-2-3
_»/
где Qj, G2, .... os — действительные величины. Записав 1
М
-f- а2Х.2 -р . . . -)- oigXg)r
определим введенные Гелл-Маном эрмитовы матрицы имеют вид
0 1 °\
1 0 0 I
0 0 0/
0 0 1\
0 0 0 У
1 0 0/
/° 0
хт = 0 0
\0 i
Лг*
Они
(10.7)
A-Матрицы удовлетворяют характерным для группы SU (3) коммутационным соотношениям, имеющим общий вид
*/]
k=i
(10.8)
где fat, — структурные постоянные. Прямым расчетом находим значения для }цк, собранные в табл. 10.1.
Таблица 10.1
Значения структурных постоянных //у/,
{ ] k ^ ijk i j k ¦ iik i j k jk
I 23 I 246 1/2 36 7 -1/2
147 1/2 2 57 1/2 458 (1/2) 31/2
1 56 -1/2 345 1/2 678 (1/2) 3i /2
Примечание. Значения исчезают для всех троек ifk, не перечисленных в таблице, И полностью антисимметричны л» трем индексам.
Из сформулированного выше постулата следует, что каждому инфинитезимальному преобразованию
238
А = 1 + ie -J т 01X1
i
соответствует уравнение для операторов
U (А) = 1 + ie 2 atFt,
i
где U и Fi — операторы, действующие на состояния частицы.
Из постулата также следует, что операторы Fi подчиняются коммутационным соотношениям, аналогичным (10.8):