Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
(2.22)
Третий пример — инверсия системы координат или преобразование четности:
х -> х' = —х\ у -> у' = —у, г -+¦ z' = — 2. (2.23)
Пусть состояние системы характеризуется волновой функцией ¦ф(л:, у, z) в системе отсчета Z. Преобразованной волновой функцией ty'(x', у', г') в новых координатах системы отсчета 2' будем считать такую функцию, которая в той же точке пространства имеет такое же значение, что и функция ф(л:, у, z), т. е.
(х', у', z') = $(x, у, z). (2.24)
Следовательно, амплитуда вероятности нахождения частицы в определенной точке пространства остается неизменной, какая бы система координат ни использовалась.
21
Для того чтобы выразить обе стороны равенства (2.24) через одни и те же переменные (со штрихом или без штриха), надо воспользоваться системой уравнений (2.20). Таким образом, выразив с помощью системы (2.20) х, у, z через х', у', г’\
х=1(х', у', 2'); y = g(x\ у', 2); г = К(х', у', г'), (2.25)
получим равенство
гр(х', у', z') = ip(f(x', у', z'), g (х', у', z'),h(x', у', z')), (2.26)
из которого определим ф'. Так, в случае трансляции (2.21)
(*', У', г') = ф (%' — ах, у' — ау, z' — аг).
С помощью данного уравнения можно на этой стадии опустить штрихи у х', у', г'\
г[/ (х, у, 2) = гр (7(ЛГ, у, 2), g(x, у, 2), h(x, у, г)). (2.27)
Это потребует иной интерпретации преобразования: мы считаем ty'(x, у, г) новой волновой функцией в исходной системе отсчета 2, т. е. ф в той же системе отсчета переходит в новое состояние ij/. Такая интерпретация называется активной, в отличие от первой, которую называют пассивной интерпретацией преобразования (2.20). На рис. 2.1 показана связь этих двух интер-
Рис. 2.1. Связь между преобразованием координат (трансляция на ах) и преобразованием волновой функции ф(х)-»-1|/(х). Функция ф' (X) имеет такой же вид относительно 2, что и функция ty'(x') относительно 2'
претаций для случая трансляции в одном измерении. Обе интерпретации не совсем эквивалентны. Активная очень удобна в применении, но она не имеет силы, когда преобразование (2.20) не является свойством симметрии системы.
Чтобы подчеркнуть, что if' возникает из ф, запишем это в виде ?Л|з, где U — оператор, зависящий от рассматриваемого преобразования (2.20). Преобразование суперпозиции двух состояний эквивалентно преобразованию этих состояний отдельно с последующей суперпозицией результатов. Из этого следует, что U — линейный оператор. Более того, для преобразований, которые мы будем рассматривать, функция г|/ нормирована, если нор-
22
мирована ф. Это можно явно доказать для случая трансляции
(2.21). Отсюда следует, что U — унитарный оператор. Таким об-
разом, равенства
] dx (t/ф)* t/ф = f йтф*ф,
или
(t/ф, t/ф) = (ф, ф) справедливы для любой ф. Следовательно,
?/+?/ = 1, (2.28)
что означает
U~l = ?/+. (2.29)
Посмотрим, как преобразуются наблюдаемые при переходе от системы отсчета 2 к системе 2'. Для каждой наблюдаемой А можно определить преобразованную наблюдаемую А' с помощью условия, что ожидаемое значение А' в состоянии ф' численно равно значению А в состоянии ф. Таким образом, должно выполняться условие
(Ф'. A'V) = Лф),
где ф' и ф связаны соотношением (2.27). Теперь
(ф', А'ф') = (t/ф, Л'?/ф) = (ф, ?/+Л'?/ф).
Это условие выполняется для всех ф:
(ф, U+A'Uty) = (ф, Лф).
Следовательно,
(U+A'U) = А
или с учетом (2.29) .
А’ = UAU+. (2.30)
В случае, когда наблюдаемая А инвариантна относительно рассматриваемых преобразований, А'—А, так что
UAU+ = A, (2.31)
или
U А = AU.
Последнее равенство означает, что U коммутирует с А.
2.2.2. Преобразования симметрии. Пусть системы отсчета 2 и 2' одинаково подходят для формулирования законов, описывающих поведение системы. Преобразование (2.20) системы отсчета
2 в систему 2' будем называть в этом случае преобразованием
симметрии данной системы.
Преобразования геометрической симметрии, не затрагивающие временной координаты, и преобразования внутренней симметрии
23
можно определить иначе. Гамильтониан системы позволяет определить собственные состояния и собственные значения, т. е. стационарные состояния системы и их энергии. Вообще он управляет развитием системы во времени и такими ее свойствами, как, например, рассеяние.
Поэтому будем считать преобразованием симметрии такое преобразование, которое оставляет гамильтониан системы Я инвариантным. С помощью равенства (2.30) это можно представить следующим образом: